平成28年度 I-2-1

解説

この問題で問われていること

曇・雨・晴の3状態について、同じ状態にとどまる確率が1/2、他の各状態へ遷移する確率が1/4であるマルコフ連鎖に関する5つの記述のうち、最も不適切なものを選ぶ問題。

解き方

① 2日後の確率=1日後の3通り(曇・雨・晴)を経由した確率の和。自分に残る1/2、他へ各1/4
② ④ 曇→晴: 曇→曇→晴 1/2×1/4 + 曇→雨→晴 1/4×1/4 + 曇→晴→晴 1/4×1/2 = 1/8+1/16+1/8 = 5/16 で、3/16ではない
③ ④

正解が正しい理由

2日後の確率は、1日後の各状態を経由する確率の和で求める。曇である日の2日後に晴である確率=(曇→曇→晴)1/2×1/4+(曇→雨→晴)1/4×1/4+(曇→晴→晴)1/4×1/2=1/8+1/16+1/8=5/16。3/16ではないので、④は不適切である。

各選択肢について

• ① 雨である日の2日後に雨である確率=1/2×1/2+1/4×1/4+1/4×1/4=1/4+1/16+1/16=3/8。適切な記述。
• ② 晴である日の2日後に雨である確率=1/2×1/4(晴→晴→雨)+1/4×1/4(晴→曇→雨)+1/4×1/2(晴→雨→雨)=1/8+1/16+1/8=5/16。適切な記述。
• ③ 曇である日の2日後に曇である確率=1/2×1/2+1/4×1/4+1/4×1/4=3/8。適切な記述。
• ④ 曇である日の2日後に晴である確率は5/16であり、3/16ではない。不適切な記述であり、これが正答。
• ⑤ 遷移確率行列は各行・各列の和がともに1(二重確率行列)で、定常分布は各状態で1/3となる。遠い将来の日に雨である確率は1/3であり、適切な記述。

覚えるべきポイント

マルコフ連鎖のn日後の確率は、遷移確率行列のn乗で求められる。2日後の確率は、中間の日の状態を全て場合分けして確率を足し合わせる。遷移確率行列の各列の和も1(二重確率行列)であれば、定常分布は一様分布となる。