令和4年度 I-2-2

解説

この問題で問われていること

4つの集合A, B, C, Dについて、各集合の要素数(11)、任意の2集合の積集合の要素数(7)、任意の3集合の積集合の要素数(4)、4集合すべての和集合の要素数(16)が与えられたとき、4集合すべての積集合の要素数を求める問題。

解き方

① 4集合の包除原理: 和集合=Σ(1つずつ)−Σ(2つの重なり)+Σ(3つの重なり)−(4つ全部の重なり)。2つの組は6通り、3つの組は4通り
② 16=11×4−7×6+4×4−x=44−42+16−x → x=2
③ 2(③)

正解が正しい理由

4つの集合の包除原理より、|A∪B∪C∪D|=(各集合の要素数の和)-(任意の2集合の積集合の要素数の和)+(任意の3集合の積集合の要素数の和)-(4集合すべての積集合の要素数)が成り立つ。各集合の要素数の和は11×4=44、2集合の組合せはC(4,2)=6通りあるのでその積集合の要素数の和は7×6=42、3集合の組合せはC(4,3)=4通りあるのでその積集合の要素数の和は4×4=16である。これらを式に代入すると16=44-42+16-(4集合すべての積集合の要素数)となり、これを解くと4集合すべての積集合の要素数=44-42+16-16=2となる。したがって③が正しい。

この問題で必要な基礎

■ 包除原理のしくみ
4つの集合の要素数を単純に足すと、2つ以上の集合に入っている要素を何度も数えてしまいます。そこで、2つずつの重なりを引き、引きすぎた3つずつの重なりを足し戻し、さらに4つ全部の重なりを引く、という順に符号を入れ替えながら補正します。

■ 組合せの数
C(4,2)は「4つの中から2つを選ぶ選び方の数」です。A, B, C, Dから2つ選ぶ組はAB, AC, AD, BC, BD, CDの6通りです。同様に3つ選ぶ組はABC, ABD, ACD, BCDの4通り(C(4,3)=4)です。

各選択肢について

• ① 8は、包除原理の計算式16=44-42+16-xを解いて得られる正しい値2とは一致しない。
• ② 4は、正しい計算結果2とは一致しない値であり、計算過程のいずれかの項を見落とした場合に生じやすい。
• ③ 包除原理の式16=44-42+16-xを解くとx=2となり、これが4集合すべての積集合の要素数の正しい値であり、これが正答。
• ④ 1は、正しい計算結果2とは一致しない。
• ⑤ 0は、正しい計算結果2とは一致しない。

覚えるべきポイント

4つの集合の和集合の要素数を求める包除原理は、|A∪B∪C∪D|=Σ|各集合|-Σ|2つの積集合|+Σ|3つの積集合|-|4つの積集合|という形で、集合の個数が増えるごとに符号が交互に入れ替わりながら項が増えていく。2集合の組合せ数(6通り)や3集合の組合せ数(4通り)を正しく数え上げることが計算のポイントである。