令和5年度 I-2-3

解説

この問題で問われていること

ISBN-13番号「978-4-103-34194-X」について、与えられた検査式a13+3a12+a11+3a10+a9+3a8+a7+3a6+a5+3a4+a3+3a2+a1≡0(mod 10)を用いて、読めなくなった最後の桁Xの値を求める問題。

解き方

① 検査式: 左の桁から1倍・3倍を交互に掛けて足し、合計が10の倍数になる
② 9+21+8+12+1+0+3+9+4+3+9+12=91 → 91+Xが10の倍数になるのはX=9
③ 9(⑤)

正解が正しい理由

番号の並びから、a13=9, a12=7, a11=8, a10=4, a9=1, a8=0, a7=3, a6=3, a5=4, a4=1, a3=9, a2=4, a1=Xとなる。これを検査式に代入すると、9+3×7+8+3×4+1+3×0+3+3×3+4+3×1+9+3×4+X=9+21+8+12+1+0+3+9+4+3+9+12+X=91+Xとなる。この値が10で割り切れる(mod 10で0と合同である)必要があるので、91+X≡0(mod 10)、すなわちX≡9(mod 10)となり、Xは0〜9の1桁の数字なのでX=9である。したがって⑤が正しい。

各選択肢について

• ① X=1を代入すると合計は91+1=92となり、10で割った余りは2であるため、検査式の条件(mod 10で0)を満たさず誤り。
• ② X=3を代入すると合計は91+3=94となり、10で割った余りは4であるため、検査式の条件を満たさず誤り。
• ③ X=5を代入すると合計は91+5=96となり、10で割った余りは6であるため、検査式の条件を満たさず誤り。
• ④ X=7を代入すると合計は91+7=98となり、10で割った余りは8であるため、検査式の条件を満たさず誤り。
• ⑤ X=9を代入すると合計は91+9=100となり、100は10で割り切れる(mod 10で0と合同になる)ため、検査式の条件を満たしており、これが正答。

覚えるべきポイント

ISBN-13のチェックディジットは、各桁に1と3を交互に掛けた重み付き和が10の倍数になるように定められている。未知の桁を求める際は、既知の桁から重み付き和を計算し、10で割った余りを0にするために必要な値を逆算すればよい。