令和6年度 I-2-1

解説

この問題で問われていること

10進数の小数「0.6」を2進数表現に変換したとき、小数点以下16桁までの表記として正しいものを選ぶ問題。

解き方

① 小数の10進数→2進数: 2倍して整数部(0か1)を取り出し、残りの小数部でくり返す
② 0.6→1.2(1)→0.4(0)→0.8(0)→1.6(1)→0.6に戻る → 1001のくり返し
③ 0.1001100110011001(①)

正解が正しい理由

小数部の10進数から2進数への変換は、値を2倍して整数部(0か1)を取り出し、残った小数部に対してこれを繰り返す。0.6→(×2)1.2→1と0.2、0.2→(×2)0.4→0と0.4、0.4→(×2)0.8→0と0.8、0.8→(×2)1.6→1と0.6、0.6→…と、4桁目で最初の0.6に戻るため「1001」の4桁パターンが無限に繰り返される(0.6=0.1001 1001 1001 …₂)。したがって小数点以下16桁は「1001100110011001」となり①が正しい(選択肢は16桁目までの切り捨て表記で、値は約0.59999)。

各選択肢について

• ① 「1001」の4桁パターンが4回繰り返される計算結果と一致しており、これが正答。
• ② 「1011 0011 0011 0011」は0.7の2進表現(0.7=0.1011 0011 0011…₂)であり、0.6ではない。
• ③ 「1100000000000000」は0.5+0.25=0.75(3/4)の2進表現であり、0.6ではない。
• ④ 「1100 1100 1100 1100」は0.8の2進表現(0.8=0.1100 1100…₂)であり、0.6ではない。
• ⑤ 「1110 0110 0110 0110」は0.9の2進表現(0.9=0.1110 0110 0110…₂)であり、0.6ではない。

覚えるべきポイント

10進数の小数を2進数に変換するには「2倍して整数部を取り出す」操作を繰り返す。0.6のように割り切れない値は循環する2進数(この場合は4桁周期の循環小数)になる点に注意する。0.1〜0.9のうち有限桁の2進数で表せるのは0.5だけである。