出典：公益社団法人 日本技術士会「技術士第一次試験 過去問題」
必要条件・十分条件・必要十分条件の判定問題。x²+y²=0とx=y=0の関係、およびx+y>2とx>1又はy>1の関係を判定する。
「x²+y²=0」と「x=y=0」の関係(ア)、および「x+y>2」と「x>1又はy>1」の関係(イ)について、それぞれ必要条件・十分条件・必要十分条件のいずれに該当するかを判定する問題。
① P⇒Qが成り立てばPはQの十分条件、Q⇒Pが成り立てば必要条件。成り立たないことは反例1つで示せる
② ア: x²+y²=0とx=y=0は両方向とも成立→必要十分条件。イ: x+y>2⇒「x>1又はy>1」は成立(対偶: x≦1かつy≦1ならx+y≦2)。逆はx=2, y=−10が反例
③ ア=必要十分条件、イ=十分条件であるが必要条件ではない(②)
アについて、実数の2乗は必ず0以上なので、x²+y²=0が成り立つのはx²=0かつy²=0、すなわちx=y=0のときに限られ、逆にx=y=0ならx²+y²=0も成り立つため、両者は同値であり「必要十分条件である」。イについて、「x≤1かつy≤1」ならばx+y≤2となるので、この対偶より「x+y>2」ならば「x>1又はy>1」が成り立つ(十分条件)。しかし逆は成り立たない。例えばx=2, y=−10のときx>1だがx+y=−8で2を超えない(必要条件ではない)。したがって「x+y>2」は「x>1又はy>1」であるための「十分条件であるが必要条件ではない」。以上よりア=必要十分条件である、イ=十分条件であるが必要条件ではない、の組合せである②が正しい。
■ 必要条件と十分条件
「PならばQ」(P⇒Q)が正しいとき、PはQであるための「十分条件」、QはPであるための「必要条件」といいます。両方向(P⇒QとQ⇒P)とも正しければ「必要十分条件」です。
■ 対偶
「P⇒Q」と「QでないならPでない」(対偶)は、正しいか誤りかが必ず一致します。直接示しにくいときは、対偶のほうを確かめます。
■ 「又は」の否定
「x>1又はy>1」の否定は「x≦1かつy≦1」です(「又は」を否定すると「かつ」に変わります)。
■ 反例
「P⇒Q」が誤りだと示すには、Pを満たすのにQを満たさない例(反例)を1つ挙げれば十分です。
命題PがQであるための条件を判定するには、P⇒Qが成り立つか(十分条件)、Q⇒Pが成り立つか(必要条件)をそれぞれ独立に確認する。「かつ」の否定は「又は」になるというド・モルガンの法則と対偶を使うと、x≤1かつy≤1からx+y≤2を導く議論が整理しやすい。
キーワード: 必要条件、十分条件、必要十分条件、情報・論理