平成27年度 III-13

解説

この問題で問われていること

コッホ曲線の描画アルゴリズム(直線を3等分し、中央を三角形の山に置き換えることの再帰)を、コードの空欄に対応づける問題。

解き方

① コッホ曲線: 左60°→右120°(left(−120))→左60°で山を作る。再帰はnを3で割り、n>アの間続ける
② 角度から①③⑤に絞れる。図の最小の線分は全体の約1/27なので3回分割: 100→33→11→3で、11では再帰し3で止まる → 3≦ア<11
③ ア7・イ60・ウ−120・エ60(③)

正解が正しい理由

コッホ曲線は、線分を3等分し、中央の1/3を、正三角形の2辺で置き換える。それを再帰的に繰り返す。コードでは、「koch(n/3)で進み、左に60度回り、koch(n/3)で進み、右に120度回り(left(−120))、koch(n/3)で進み、左に60度回り、koch(n/3)で進む」という動作が、山の形を作る。したがって、イ=60、ウ=−120、エ=60である。ア(再帰の打切りの大きさ)は、n=100から、3で割っていく(100→33→11→3)。図では、最小の線分の長さが、全体の約1/27(約3)で、nが3になったところで直線を描く(forward)ので、n=11のときは、さらに再帰、n=3のときは打切りとなる必要がある。アが7なら、11>7で再帰、3≤7で直線になり、図と一致する。アが1では、さらに再帰して、より細かい図になり、アが13では、n=11で打切りとなり、粗い図になる。したがって、ア=7、イ=60、ウ=−120、エ=60の③が最も適切である。

各選択肢について

• ① ア=1では、n=3でも、3>1のため、さらに再帰し(n=1)、図より細かい曲線になる。
• ② 角度が120、−60、120では、山の形にならない。
• ③ ア=7、イ=60、ウ=−120、エ=60で、n=100→33→11→3の3段階の再帰の後に直線を描き、図と一致する。これが正答。
• ④ 角度が120、−60、120では、山の形にならない。
• ⑤ ア=13では、n=11で打切りになり、2段階の再帰しかせず、図より粗い曲線になる。

覚えるべきポイント

コッホ曲線=線分を3等分し、中央に正三角形の山をつくる操作の再帰。向きの変化は、+60度、−120度、+60度。再帰の深さは、打切り条件(nの閾値)で決まる。