平成29年度 III-7

解説

この問題で問われていること

四則演算などで、有効桁数が失われる現象(桁落ち)が、どの演算で起きるかを判断する問題。

解き方

① 桁落ち=ほぼ等しい2つの数の引き算で、上の桁が打ち消し合い有効桁が減る。足し算・掛け算・割り算ではほとんど減らない
② a、bはどちらも約3でほぼ等しい → a−b は 0.0002 未満になり、7桁のうち上の4桁ほどが消える
③ ②

正解が正しい理由

aは3に非常に近い(3より少し大きい)値、bも3に非常に近い(3より少し小さい)値で、a≈bである。ほぼ等しい2つの数の差をとると、上位の桁が打ち消し合い、下位の(誤差を含む)桁だけが残るため、有効桁数が大きく失われる(桁落ち)。a−bは、約0.0001〜0.0002程度の値で、元の7桁の有効桁数から、4桁ほど失われて、3桁程度しか残らない。したがって②が最も適切である。

各選択肢について

• ① a+bは、同符号の加算で、有効桁数はほとんど失われない。
• ② a−bは、ほぼ等しい2数の減算で、桁落ちが起き、有効桁数が最も失われる。これが正答。
• ③ a*bは、乗算で、相対誤差は、それぞれの相対誤差の和程度で、有効桁数はほとんど失われない。
• ④ a/bも、除算で、相対誤差は、それぞれの相対誤差の和程度で、有効桁数はほとんど失われない。
• ⑤ sqrt(a*a+b*b)は、二乗の和の平方根で、加算と乗算のみで、桁落ちは起きない。

覚えるべきポイント

桁落ち=ほぼ等しい2数の減算で、有効桁数が失われること。桁落ちの回避には、式の変形(有理化など)による減算の回避が有効。