平成30年度 III-14

解説

この問題で問われていること

シグモイド関数の値、導関数、傾きの性質を確認する問題。

解き方

① シグモイド関数: f(0)=1/(1+1)=0.5、値は0〜1の間。導関数 f'=f(1−f) は f=0.5(X=0)のとき最大の0.25
② ①f(−1)≈0.27、②f''(0)=0、③f(0)=0.5、④X=−5では約0.007(0.99になるのはX=5だけ)
③ ⑤

正解が正しい理由

シグモイド関数の導関数は、f'(X)=f(X)(1−f(X))で、f(X)=0.5のとき最大となる。f(X)=0.5となるのはX=0のときで、このとき、f'(0)=0.25。よって、接線の傾きは、X=0において最大となる。したがって⑤が最も適切である。

各選択肢について

• ① X=−1のとき、f(−1)=1/(1+e)≈0.269で、0ではない(Xが非常に小さいときに0に近づく)。
• ② X=0のとき、第2次導関数は、f''(X)=f'(X)(1−2f(X))で、f(0)=0.5のため、f''(0)=0。1ではない。
• ③ X=0のとき、f(0)=1/(1+1)=0.5で、0.1ではない。
• ④ Xの絶対値が5のとき、X=5では約0.993、X=−5では約0.0067で、「およそ0.99」となるのは、X=5のときだけ。絶対値が5のときに、0.99であるとは言えない。
• ⑤ 接線の傾き(導関数)は、X=0において最大(0.25)となる。これが正答。

覚えるべきポイント

シグモイド関数は0〜1の値を取り、f(0)=0.5。導関数f'=f(1−f)はX=0で最大0.25、|X|が大きいと0に近づくため、勾配消失の原因となる。