平成30年度 III-21

解説

この問題で問われていること

3点見積りの期待値と標準偏差から、正規分布の約95%区間(±2σ)を求める問題。

解き方

① 3点見積り: 期待値=(楽観値+4×最頻値+悲観値)÷6、標準偏差=(悲観値−楽観値)÷6。期待値±2σに約95%
② 期待値(100+520+190)÷6=135、σ=90÷6=15 → 135±30
③ 105日〜165日(③)

正解が正しい理由

期待値=(楽観値+最頻値×4+悲観値)÷6=(100+130×4+190)÷6=(100+520+190)÷6=810÷6=135日。標準偏差=(悲観値−楽観値)÷6=(190−100)÷6=15日。正規分布では、期待値±2σの範囲に約95%(正確には1.96σで95%)が含まれる。したがって、135−2×15=105日から、135+2×15=165日の範囲となり、③が正しい。

この問題で必要な基礎

■ 標準偏差と正規分布
標準偏差は、日数が期待値からどのくらいばらつくかの目安です。正規分布では、期待値から標準偏差2つ分(±2σ)の範囲に、全体の約95%が入ります(±1σなら約68%)。

この問題では、期待値135日、標準偏差15日なので、135−2×15=105日から135+2×15=165日が約95%の範囲です。

各選択肢について

• ① 90日〜180日は、期待値±3σ(45日)に相当し、約99.7%の範囲。
• ② 100日〜135日は、範囲の上限が期待値であり、約50%程度で、95%の範囲を表していない。
• ③ 105日〜165日は、期待値±2σで、約95%の範囲。これが正答。
• ④ 115日〜160日は、期待値(135)を中心とした対称な範囲ではなく、正しくない。
• ⑤ 120日〜150日は、期待値±1σ(約68%)の範囲。

覚えるべきポイント

正規分布の区間: 期待値±1σ=約68%、±2σ=約95%、±3σ=約99.7%。3点見積りの期待値=(a+4m+b)/6、標準偏差=(b−a)/6。