平成30年度 III-29

解説

この問題で問われていること

M/M/1待ち行列モデルの、平均応答時間の式を用いて、許容できる到着率を求める問題。

解き方

① M/M/1の平均応答時間T=1÷(μ−λ)。μ=1÷処理時間
② μ=1÷0.5=2件/秒。1÷(2−λ)≦2 → 2−λ≧0.5 → λ≦1.5
③ 1.5件/秒(③)

正解が正しい理由

M/M/1モデルで、サービス率(単位時間に処理できる数)をμ、到着率をλとすると、平均応答時間(待ち時間+処理時間)T=1/(μ−λ)。処理時間が0.5秒なので、μ=1/0.5=2件/秒。T≤2.0秒とすると、1/(2−λ)≤2、すなわち、2−λ≥0.5、λ≤1.5件/秒。したがって、処理可能な要求数は、最大1.5件/秒で、③が最も適切である。

この問題で必要な基礎

■ 記号の意味
・到着率λ: 1秒あたりに来る要求の数
・サービス率μ: 1秒あたりに処理できる数。処理時間0.5秒なら、1秒あたり1÷0.5=2件

■ 平均応答時間の式
M/M/1モデルの平均応答時間(待ち時間+処理時間)はT=1/(μ−λ)です。これは「平均処理時間÷(1−利用率)」(利用率=λ/μ)と同じ式で、要求が増えて利用率が1に近づくほど、待ち時間が急に長くなります。

各選択肢について

• ① 1.3件/秒でも、応答時間の条件は満たすが、処理可能な最大の要求数ではない。
• ② 1.4件/秒でも、条件は満たすが、最大値ではない。
• ③ λ=1.5のとき、T=1/(2−1.5)=2.0秒で、条件の境界(最大)。これが正答。
• ④ 1.6件/秒では、T=1/(2−1.6)=2.5秒で、2.0秒を超える。
• ⑤ 1.7件/秒では、T=1/(2−1.7)≈3.3秒で、2.0秒を超える。

覚えるべきポイント

M/M/1の平均応答時間T=1/(μ−λ)。平均待ち時間=ρ/(μ−λ)(ρ=λ/μ)。応答時間=待ち時間+処理時間。λがμに近づくと、応答時間は急激に増える。