令和3年度 III-11

解説

この問題で問われていること

ド・モルガンの定理を使って、否定の付いた論理積を、論理和の形に変換する問題。

解き方

① ド・モルガン: 全体の否定を配ると、AND と OR が入れ替わり各項が否定される。否定が2つ重なれば元に戻る
② NOT(Ā・B̄・C̄・D̄) = NOT Ā + NOT B̄ + NOT C̄ + NOT D̄ = A+B+C+D
③ ②

正解が正しい理由

ド・モルガンの定理は、NOT(X・Y)=NOT X + NOT Y、NOT(X+Y)=NOT X・NOT Y。変換前の式は、f=NOT(Ā・B̄・C̄・D̄)で、全体の否定を、各項の否定の論理和に分配すると、f=NOT Ā + NOT B̄ + NOT C̄ + NOT D̄となる。二重否定は元に戻るので、f=A+B+C+Dとなり、②が正しい。

各選択肢について

• ① NOT(A・B・C・D)は、変換前の式とは別の式(NANDの式)で、等価ではない。
• ② A+B+C+Dは、ド・モルガンの定理と二重否定の除去により得られる式で、これが正答。
• ③ NOT(A+B+C+D)は、NORの式であり、等価ではない。
• ④ Ā+B̄+C̄+D̄は、NOT(A・B・C・D)と等価な式で、変換前の式とは異なる。
• ⑤ Ā・B̄・C̄・D̄は、変換前の式の全体の否定を外した式で、等価ではない。

覚えるべきポイント

ド・モルガンの定理: NOT(A・B)=NOT A+NOT B、NOT(A+B)=NOT A・NOT B。「否定を分配し、AND/ORを入れ替える」。二重否定は打ち消し合う。