平成29年度 I-2-2

解説

この問題で問われていること

問題文の手続きに従って、実数13.0を符号部・指数部・仮数部からなる単精度浮動小数点表現に変換する問題。

解き方

① 符号部: 正なら0。指数部: α+127の2進数。仮数部: 1.xxxのxxx部分
② 13=8×1.625=2³×(1+0.625) → 符号部0(①②は除外)、指数部3+127=130=10000010(③⑤の10000001は129で除外)。仮数部0.625=0.101₂→101000…
③ ④

正解が正しい理由

13.0=2³×(1+0.625)と変形できる(8×1.625=13)。したがってa=3、x=0.625。符号は正なので符号部は0。指数部はa+127=130で、130=(10000010)₂。仮数部はx=0.625=1/2+1/2³=(0.101)₂より、10100000000000000000000(23文字)となる。したがって符号部0、指数部10000010、仮数部10100000000000000000000の④が正しい。

この問題で必要な基礎

■ αの見つけ方
13を「2のα乗×(1以上2未満の数)」の形にするには、13以下で最大の2の累乗(1, 2, 4, 8, 16, …のうち8=2³)で割ります。13÷8=1.625なので、13=2³×1.625、つまりα=3、x=0.625です。

■ 2進数への直し方
・整数: 130=128+2なので、8桁の2進数では10000010です(左から128, 64, 32, 16, 8, 4, 2, 1の位)。
・小数: 0.625=0.5+0.125=1/2+1/8なので、小数点以下の位(1/2, 1/4, 1/8, …)に1, 0, 1が並び、(0.101)₂になります。

各選択肢について

• ① 符号部が1(負)で、指数部10000001(a=2)、仮数部1001…(x=0.5625)となっている点が誤り。
• ② 符号部が1(負)となっている点が誤り。13.0は正の数なので符号部は0である。
• ③ 指数部が10000001(a=2)、仮数部が1001…(x=0.5625)となっている点が誤り。これは2²×1.5625=6.25を表す。
• ④ 符号部0、指数部10000010(a=3)、仮数部1010…0(x=0.625)が13.0=2³×(1+0.625)と一致しており、これが正答。
• ⑤ 指数部が10000001(a=2)となっている点が誤り。このままでは2²×1.625=6.5を表現しており、13.0ではない。

覚えるべきポイント

13.0=1101₂=1.101₂×2³と2進数で考えると、指数(3)と仮数部(101)が素早く求められる。指数部はバイアス127を加えた値(3+127=130)の2進数で表す。