令和元年度(再試験) I-2-4

解説

この問題で問われていること

問題文の手続き(1)〜(4)に従って、実数13.0を符号部・指数部・仮数部からなる単精度浮動小数点表現に変換する問題。

解き方

① 符号部: 正なら0。指数部: α+127の2進数。仮数部: 1.xxxのxxx部分
② 13=8×1.625=2³×(1+0.625) → 符号部0(①②は除外)、指数部3+127=130=10000010(③④の10000001は129で除外)。仮数部0.625=0.101₂→101000…
③ ⑤

正解が正しい理由

13.0を±2^α×(1+x)(0≦x<1)の形に変形する。13=8×1.625=2^3×(1+0.625)であるからα=3、x=0.625。符号は正なので符号部は0。指数部はα+127=130であり、130=128+2の2進数は10000010。仮数部はx=0.625=1/2+1/2³=(0.101)₂であるから、小数点以下を順に並べて10100000000000000000000(23文字)となる。したがって符号部0、指数部10000010、仮数部10100000000000000000000の⑤が正しい。

この問題で必要な基礎

■ αの見つけ方
13を「2のα乗×(1以上2未満の数)」の形にするには、13以下で最大の2の累乗(1, 2, 4, 8, 16, …のうち8=2³)で割ります。13÷8=1.625なので、13=2³×1.625、つまりα=3、x=0.625です。

■ 2進数への直し方
・整数: 130=128+2なので、8桁の2進数では10000010です(左から128, 64, 32, 16, 8, 4, 2, 1の位)。
・小数: 0.625=0.5+0.125=1/2+1/8なので、小数点以下の位(1/2, 1/4, 1/8, …)に1, 0, 1が並び、(0.101)₂になります。

各選択肢について

• ① 符号部が1(負)となっている点が誤り。13.0は正の数なので符号部は0である。
• ② 符号部が1となっている点、指数部が10000001(α=2に相当)である点、仮数部が0.5625に相当する点が誤り。
• ③ 指数部が10000001(α=2)、仮数部が1001000…(x=0.5625)となっている点が誤り。13.0=2^3×1.625である。
• ④ 指数部が10000001(α=2)となっている点が誤り。このままでは2^2×1.625=6.5を表現しており、13.0ではない。
• ⑤ 符号部0、指数部10000010(α=3)、仮数部1010…0(x=0.625)が13.0=2^3×(1+0.625)の表現と一致しており、これが正答。

覚えるべきポイント

浮動小数点表現では、実数を2^α×(1+x)の形に正規化し、指数部はα+127(バイアス付き)の2進数、仮数部はxの2進小数展開の並びとなる。13.0=1101₂=1.101₂×2^3と2進数で考えると、指数と仮数を素早く求められる。