平成30年度 I-2-6

解説

この問題で問われていること

全体集合Uの元が900個、集合A、B、Cの元の個数や共通部分の個数が与えられたとき、A∪B∪Cの補集合の元の個数を求める問題。

解き方

① |A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|−(2つずつの重なり)+(3つ全部の重なり)。補集合=全体−和集合
② 300+180+128−60−43−26+9=488 → 900−488=412
③ 412(②)

正解が正しい理由

包除原理より、|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|−|A∩B|−|A∩C|−|B∩C|+|A∩B∩C|=300+180+128−60−43−26+9=488。補集合の元の個数は全体900から引いて、900−488=412個となる。したがって②が正しい。

この問題で必要な基礎

■ 記号の意味
・A∪B∪C(和集合): A・B・Cの少なくとも1つに入っている元の集まり
・A∩B(積集合): AとBの両方に入っている元の集まり
・補集合(上に線): 全体Uのうち、その集合に入っていない元の集まり

■ 包除原理のしくみ
|A|+|B|+|C|と単純に足すと、2つの集合に入っている元は2回、3つ全部に入っている元は3回数えられてしまいます。そこで2つずつの重なり(A∩B等)を引きますが、3つ全部に入っている元は3回引かれて0回になってしまうので、最後に|A∩B∩C|を1回分足し戻します。

各選択肢について

• ① 385個は、包除原理の計算(最後に加える3集合の共通部分の個数など)を誤った場合に現れうる値で、正しい値(412)ではない。
• ② |A∪B∪C|=488なので、補集合は900−488=412個であり、これが正答。
• ③ 420個は、|A∪B∪C|=480として計算した場合の補集合(900−480)に相当する値で、共通部分の加算(+9)の扱いを誤っている。
• ④ 480個は、和集合の元の個数を480個としたときの値、または補集合の個数と混同した値であり、正しくない。
• ⑤ 488個は、和集合A∪B∪Cの元の個数であり、問われている補集合の元の個数ではない。

覚えるべきポイント

3つの集合の和集合の元の個数は、|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|−|A∩B|−|B∩C|−|C∩A|+|A∩B∩C|(包除原理)で求める。補集合の元の個数は全体の個数から引いて求める。求めるのが和集合か補集合かに注意する。