令和5年度 I-2-6

解説

この問題で問われていること

部分集合A, B, Cの元の個数、およびそれらの積集合(A∩B, A∩C, B∩C, A∩B∩C)の元の個数が与えられ、A∪B∪Cの補集合の元の個数が400のとき、全体集合Vの元の個数を求める問題。

解き方

① |A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|−(2つずつの重なり)+(3つ全部の重なり)。全体=和集合+その補集合
② 300+180+120−60−40−20+10=490 → 490+400=890
③ 890(④)

正解が正しい理由

包除原理より、|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|-|A∩B|-|A∩C|-|B∩C|+|A∩B∩C|=300+180+120-60-40-20+10=490となる。全体集合Vは(A∪B∪C)とその補集合の和で構成され、両者に重なりはないため、|V|=|A∪B∪C|+|A∪B∪Cの補集合|=490+400=890となる。したがって④が正しい。

この問題で必要な基礎

■ 記号の意味
・A∪B∪C(和集合): A・B・Cの少なくとも1つに入っている元の集まり
・A∩B(積集合): AとBの両方に入っている元の集まり
・補集合(上に線): 全体Vのうち、その集合に入っていない元の集まり

■ 包除原理のしくみ
|A|+|B|+|C|と単純に足すと、2つの集合に入っている元は2回、3つ全部に入っている元は3回数えられてしまいます。そこで2つずつの重なり(A∩B等)を引きますが、3つ全部に入っている元は3回引かれて0回になってしまうので、最後に|A∩B∩C|を1回分足し戻します。

各選択肢について

• ① 600は|A∪B∪C|(490)や補集合の個数(400)の単純な組合せとは一致しない値であり、包除原理による正しい計算結果ではない。
• ② 720は正しい計算結果890とは異なり、いずれかの項を見落とすなど計算過程に誤りがある場合に生じやすい値である。
• ③ 730も正しい計算結果890とは異なり、包除原理の計算過程で符号や項の扱いを誤った場合に生じやすい値である。
• ④ 包除原理により|A∪B∪C|=300+180+120-60-40-20+10=490を求め、これに補集合の元の個数400を加えた890が、全体集合Vの元の個数の正しい計算結果であり、これが正答。
• ⑤ 1000は、補集合の個数(400)と|A∪B∪C|(490)の単純な四捨五入や誤った加算では生じにくい値であり、正しい計算結果ではない。

覚えるべきポイント

3つの集合の和集合の元の個数を求めるには、包除原理|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|-|A∩B|-|A∩C|-|B∩C|+|A∩B∩C|を用いる(2つの集合分をそれぞれ引きすぎた分を、3つ全ての積集合を足し戻して補正する)。全体集合の元の個数は、ある集合の元の個数とその補集合の元の個数の和に等しい。