令和元年度(再試験) I-2-6

解説

この問題で問われていること

A={a,b,c,d}、B={α,β}、C={0,1}のとき、直積集合A×BからCへの写像f:A×B→Cが全部で何通りあるかを求める問題。

解き方

① 写像の総数=(行き先の要素数)の(出発側の要素数)乗
② A×Bは4×2=8個、行き先Cは2個 → 2⁸=256
③ 256(④)

正解が正しい理由

直積集合A×Bの要素数は4×2=8個である。写像fは、A×Bの各要素に対してCの要素(0か1)のいずれかを対応させるもので、各要素について2通りの選び方があり、それぞれ独立に決められるので、写像の総数は2^8=256通りである。したがって④が正しい。

この問題で必要な基礎

■ 直積集合A×Bとは
Aの要素とBの要素を1つずつ組にしたものの集まりです。Aの4個とBの2個の組合せなので、(a,α)、(a,β)、(b,α)、…、(d,β)の4×2=8個になります。

■ 写像の数え方
写像fは、A×Bの8個の要素それぞれに、Cの要素(0か1)を1つずつ割り当てる規則です。8個の要素はそれぞれ独立に「0か1か」の2通りを選べるので、全体の選び方は2を8回掛けた2⁸=256通りになります。

各選択肢について

• ① 32=2^5であり、定義域の要素数を5と数えた場合の値。A×Bの要素数は8個である。
• ② 64=2^6であり、定義域の要素数を6と数えた場合の値。A×Bの要素数は4×2=8である。
• ③ 128=2^7であり、定義域の要素数を7と数えた場合の値。A×Bの要素数は8である。
• ④ |A×B|=4×2=8であり、各要素の対応先がCの2要素から選べるので、写像の総数は2^8=256通りとなり、これが正答。
• ⑤ 512=2^9であり、定義域の要素数を9と数えた場合の値。A×Bの要素数は8個であり、9個ではない。

覚えるべきポイント

集合Xから集合Yへの写像の総数は|Y|^|X|である。直積集合の要素数は各集合の要素数の積(|A×B|=|A|×|B|)。底と指数(終集合と定義域)を取り違えないこと。