令和7年度 I-2-1

解説

この問題で問われていること

集合A={a,b,c}と集合B={α,β}の直積集合A×Bから、集合C={x,y}への写像fの総数を求める問題。

解き方

① 写像の総数=(行き先の要素数)の(出発側の要素数)乗
② A×Bは3×2=6個、行き先Cは2個 → 2⁶=64
③ 64(③)

正解が正しい理由

有限集合XからYへの写像(関数)の総数は|Y|の|X|乗で求められる。直積集合A×Bの要素数は|A|×|B|=3×2=6個であり、写像先の集合Cの要素数は|C|=2個なので、写像の総数は2の6乗=64通りとなる。

この問題で必要な基礎

■ 直積集合A×Bとは
Aの要素とBの要素を1つずつ組にしたものの集まりです。(a,α)、(a,β)、(b,α)、(b,β)、(c,α)、(c,β)の6個になります。

■ 写像の数え方
写像fは、A×Bの6個の要素それぞれに、Cの要素(xかy)を1つずつ割り当てる規則です。6個の要素はそれぞれ独立に「xかyか」の2通りを選べるので、全体の選び方は2×2×2×2×2×2=2の6乗=64通りになります。正解の理由にある「|Y|の|X|乗」は、この考え方を式にしたものです。

各選択肢について

• ① 12は|A×B|×|C|=6×2のように単純に掛け合わせた値で、写像の総数を累乗ではなく積で数えてしまった誤り。
• ② 36は6の2乗にあたる値で、底(写像先の要素数)と指数(定義域の要素数)を取り違えている誤り。
• ③ 2の6乗=64が正しい計算結果であり、これが正答。
• ④ 81は3の4乗にあたる値で、A×Bの要素数(6)やCの要素数(2)のいずれとも対応しない誤り。
• ⑤ 128は2の7乗にあたる値で、A×Bの要素数を6ではなく7として計算してしまった誤り。

覚えるべきポイント

有限集合XからYへの写像の総数は「|Y|の|X|乗」で求められる。また直積集合A×Bの要素数は各集合の要素数の積|A|×|B|になることも合わせて押さえておくとよい。