令和2年度 I-2-2

解説

この問題で問われていること

3変数x, y, zに対する真理値表(8通りの組合せとその出力値)と一致する論理式f(x,y,z)を、5つの候補式の中から選ぶ問題。

解き方

① 表で0になっている行を選択肢の式に入れ、1になる式を消していく
② (0,1,1)→0: ①xy+zと⑤xy+x̄zは1になり脱落。(0,0,0)→0: ②x̄y+(yz)‾と④xy+(xy)‾(常に1)は1になり脱落
③ 残るxy+ȳz(③)

正解が正しい理由

f(x,y,z)=xy+ȳzについて、真理値表の8通りすべての組合せで値を計算すると、(0,0,0)→0, (0,0,1)→1, (0,1,0)→0, (0,1,1)→0, (1,0,0)→0, (1,0,1)→1, (1,1,0)→1, (1,1,1)→1となり、与えられた真理値表の値とすべて一致する。したがって③が正しい。

この問題で必要な基礎

■ 論理演算の記号
・論理積(xyのように並べて書く): 両方とも1のときだけ1
・論理和(+): どちらか一方でも1なら1
・論理否定(上線): 0と1を入れ替える。線が複数の文字にまたがっている場合(yzの上に1本の線など)は、yzを計算した結果全体を反転させます。

■ 真理値表との照合
選択肢の式に、表の8行の(x, y, z)を1つずつ代入して、表のfの値と全て一致するかを確かめます。1行でも食い違えば、その式は誤りです。

各選択肢について

• ① f(x,y,z)=xy+zは、例えば(0,0,1)でxy=0, z=1よりf=1(表と一致)だが、(0,1,1)ではxy=0, z=1よりf=1となり、表の値0と一致しないため誤り。
• ② f(x,y,z)=x̄y+(yzの否定)は、例えば(0,0,0)でx̄y=0、yz=0の否定=1よりf=1となるが、表の値は0であり一致しないため誤り。
• ③ f(x,y,z)=xy+ȳzは、真理値表の8通りすべての組合せで一致することが確認でき、これが正答。
• ④ f(x,y,z)=xy+(xyの否定)は、xyとその否定のどちらか一方が必ず1になるため、常にf=1となる。例えば(0,0,0)では表の値0と一致しないため誤り。
• ⑤ f(x,y,z)=xy+x̄zは、(0,0,1)でxy=0, x̄z=1よりf=1(表と一致)だが、(0,1,1)ではxy=0, x̄z=1よりf=1となり、表の値0と一致しないため誤り。

覚えるべきポイント

真理値表と論理式の照合問題では、候補の式を一つずつすべての行(組合せ)について計算し、1か所でも表の値と食い違えばその式は除外する、という総当たりの確認が最も確実な方法である。特に紛らわしい部分(表で0になっている行)を先にチェックすると、誤った候補を早く絞り込める。