平成28年度 I-2-2

解説

この問題で問われていること

真理値表の演算結果(A=B=1のときだけ0、他は1)と一致する論理式を選ぶ問題。

解き方

① 表で出力が0になるのは(A,B)=(1,1)だけ=A・Bの否定(NAND)。ド・モルガンの法則で(A・B)‾=Ā+B̄
② 確かめ: (1,1)→0+0=0、それ以外の行は少なくとも一方が1で1
③ Ā+B̄(②)

正解が正しい理由

真理値表は、(A,B)=(0,0)→1、(0,1)→1、(1,0)→1、(1,1)→0で、A・Bの否定(NAND)に等しい。ド・モルガンの法則より、¬(A・B)=¬A+¬Bである。したがって、¬A+¬Bの②が一致する。検算:(0,0)は1+1=1、(0,1)は1+0=1、(1,0)は0+1=1、(1,1)は0+0=0。

この問題で必要な基礎

■ 論理演算
・論理和(+): どちらか一方でも1なら1
・論理積(•): 両方とも1のときだけ1
・否定(上線): 0と1を入れ替える

■ ド・モルガンの法則
「AかつB」の否定は「Aでない、またはBでない」になります。記号で書くと、(A•B)の否定=Ā+B̄です。この真理値表は、A•B(両方1のときだけ1)の結果をちょうど反転したものになっています。

各選択肢について

• ① A+Bは、(0,0)のとき0となり、真理値表(1)と一致しない。
• ② ¬A+¬B=¬(A・B)で、(1,1)のときだけ0となり、真理値表と一致する。これが正答。
• ③ A・Bは、(1,1)のときだけ1となる論理積で、真理値表と逆(NAND)である。
• ④ ¬A・¬Bは、(0,0)のときだけ1となり、真理値表と一致しない。
• ⑤ A・¬B+¬A・Bは、排他的論理和(XOR)で、(0,0)のとき0となり、真理値表(1)と一致しない。

覚えるべきポイント

真理値表から論理式を特定するには、各選択肢に(A,B)の4通りの値を代入して確かめる。「(1,1)のときだけ0」はNAND(=¬A+¬B)であり、ド・モルガンの法則で¬(A・B)=¬A+¬Bと変形できる。