平成30年度 I-2-4

解説

この問題で問われていること

X=¬(¬A・¬B+A・B)と等価な論理式を選ぶ問題。

解き方

① ド・モルガン: 和の否定=否定の積、積の否定=否定の和。二重否定は元に戻る
② X=NOT(Ā・B̄)・NOT(A・B)=(A+B)・NOT(A・B)。①〜④はどれも「ある式とその否定の積」になっていて、常に0
③ ⑤

正解が正しい理由

ド・モルガンの法則「論理和の否定は各変数の否定の論理積に等しい」より、X=¬(¬A・¬B+A・B)=¬(¬A・¬B)・¬(A・B)。さらに「論理積の否定は各変数の否定の論理和に等しい」より、¬(¬A・¬B)=A+B(二重否定)なので、X=(A+B)・¬(A・B)となる。これは「AかBの少なくとも一方が1で、かつ両方が1ではない」、すなわち排他的論理和(A⊕B)であり、⑤が正しい。

各選択肢について

• ① (A+B)・¬(A+B)は、常に偽(0)となる矛盾式であり、元の式とは等価でない。
• ② (A+B)・(¬A・¬B)は、A+Bと¬(A+B)の積に等しく、常に偽になる。元の式とは等価でない。
• ③ (A・B)・(¬A・¬B)は常に偽であり、元の式と等価でない。
• ④ (A・B)・¬(A・B)は常に偽であり、元の式と等価でない。
• ⑤ ド・モルガンの法則を適用して導かれるX=(A+B)・¬(A・B)と一致しており、これが正答。真理値表でも、A=B(00と11)のときX=0、A≠BのときX=1となり、排他的論理和である。

覚えるべきポイント

ド・モルガンの法則:¬(P+Q)=¬P・¬Q、¬(P・Q)=¬P+¬Q。これを用いて式を変形する。¬A・¬B+A・Bは同値(XNOR)を表し、その否定X=(A+B)・¬(A・B)は排他的論理和(XOR)である。