令和3年度 I-2-2

解説

この問題で問われていること

論理式NOT(Ā・B̄+A・B)全体の否定と等価な論理式を、ド・モルガンの法則と二重否定を用いて求める問題。

解き方

① ド・モルガン: 和の否定=否定の積、積の否定=否定の和。二重否定は元に戻る
② NOT(ĀB̄+AB)=NOT(ĀB̄)・NOT(AB)=(A+B)・(Ā+B̄)
③ ②

正解が正しい理由

全体の式はNOT(Ā・B̄+A・B)である。まず論理和の否定に関するド・モルガンの法則(NOT(X+Y)=X̄・Ȳ)を、X=Ā・B̄、Y=A・Bとして適用すると、NOT(Ā・B̄)・NOT(A・B)となる。次に、それぞれの項に論理積の否定に関するド・モルガンの法則(NOT(X・Y)=X̄+Ȳ)を適用すると、NOT(Ā・B̄)=A+B(二重否定によりĀの否定はA、B̄の否定はBとなる)、NOT(A・B)=Ā+B̄となる。これらを掛け合わせると(A+B)・(Ā+B̄)が得られる。したがって②が正しい。

各選択肢について

• ① (A+B)・NOT(A+B)は、Xとその否定NOT(X)の論理積であり、常に0(恒偽)になる式であるため、元の式と等価ではない。
• ② ド・モルガンの法則を2段階(外側の論理和の否定、内側の論理積の否定)適用して得られる(A+B)・(Ā+B̄)が、元の式NOT(Ā・B̄+A・B)と等価であり、これが正答。
• ③ (A・B)・(Ā・B̄)は、AとĀの両方を含む積になるため常に0(恒偽)になる式であり、元の式とは等価ではない。
• ④ (A・B)・NOT(A・B)も、Xとその否定NOT(X)の論理積であり常に0(恒偽)になる式であるため、元の式とは等価ではない。
• ⑤ (A+B)+(Ā+B̄)は、真理値表を確認すると常に1(恒真)になる式であり、元の式(A,Bの値によって0にも1にもなる式)とは等価ではない。

覚えるべきポイント

ド・モルガンの法則は、論理和の否定NOT(X+Y)=X̄・Ȳと論理積の否定NOT(X・Y)=X̄+Ȳの2つがあり、複雑な否定式を簡略化する際は、外側の演算子(この問題では+)から順に内側へ向かって段階的に適用していくと整理しやすい。