平成27年度 I-3-1

解説

この問題で問われていること

3点(−1,2)、(0,2)、(2,8)を通る2次の補間多項式から、f(1)の値を求める問題。

解き方

① 同じ値をとる2点があれば、その2点で0になる形に置くと計算が短い: f(x)=2+k×x×(x+1)
② f(−1)=f(0)=2を満たす。f(2)=2+6k=8 → k=1
③ f(1)=2+1×2=4(②)

正解が正しい理由

2次の補間多項式をf(x)=ax²+bx+cとおく。f(0)=2よりc=2。f(−1)=a−b+2=2よりa=b。f(2)=4a+2b+2=8より、a=bを代入して6a=6、a=1、b=1。よってf(x)=x²+x+2。f(1)=1+1+2=4。したがって②が正しい。

この問題で必要な基礎

■ 2次の補間多項式とは
与えられた3つの点(x=−1, 0, 2のときの値)をちょうど通る2次関数f(x)=ax²+bx+cのことです。3つの点の値を代入すると、a, b, cについての3つの式(連立方程式)ができるので、それを解いてa, b, cを決めます。

各選択肢について

• ① f(1)=3は、補間多項式の計算結果(4)と一致しない。
• ② f(x)=x²+x+2を得て、f(1)=1+1+2=4となり、これが正答。
• ③ f(1)=5は、補間多項式の計算結果(4)と一致しない。
• ④ f(1)=6は、補間多項式の計算結果(4)と一致しない。
• ⑤ f(1)=7は、補間多項式の計算結果(4)と一致しない。

覚えるべきポイント

n+1個の点を通るn次の補間多項式は一意に決まる。3点なら2次式f(x)=ax²+bx+cとおき、3つの条件から係数の連立方程式を解く(ラグランジュ補間でも同じ結果になる)。