出典：公益社団法人 日本技術士会「技術士第一次試験 過去問題」
スカラー関数ψ=2x−x²yの、点(1,−1)における勾配ベクトル∇ψ=(∂ψ/∂x, ∂ψ/∂y)を求める問題。
ψ=2x−x²yの点(1,−1)における勾配∇ψ=(∂ψ/∂x, ∂ψ/∂y)を求める問題。
① 勾配∇ψ=(∂ψ/∂x, ∂ψ/∂y)。偏微分は他の文字を定数とみなして微分
② ∂ψ/∂x=2−2xy=2+2=4、∂ψ/∂y=−x²=−1
③ (4, −1)(②)
偏微分を計算する。∂ψ/∂x=2−2xy、∂ψ/∂y=−x²。点(1,−1)を代入すると、∂ψ/∂x=2−2×1×(−1)=2+2=4、∂ψ/∂y=−1²=−1。よって∇ψ=(4,−1)。したがって②が正しい。
■ 偏微分のやり方
∂ψ/∂xは「yを定数(ただの数)とみなして、xで微分する」ことです。ψ=2x−x²yなら
・2xをxで微分すると2
・x²yはyを定数とみなすと「y×x²」なので、xで微分すると2xy
となり、∂ψ/∂x=2−2xyです。∂ψ/∂yは、逆にxを定数とみなしてyで微分します(2xはyを含まないので0、−x²yは−x²)。
■ ∇ψはベクトル
∇ψは2つの偏微分を並べた組(ベクトル)なので、答えは(○, ○)の形になります。1つの数(長さなど)ではありません。
スカラー関数の勾配∇ψは、各変数での偏微分を成分とするベクトルで、その点で関数が最も急に増加する方向を向く。選択肢が大きさ(スカラー)ではなくベクトルの形になっているかにも注意する。
キーワード: 勾配、偏微分、ベクトル解析、スカラー場、解析