平成27年度 I-3-4

解説

この問題で問われていること

x方向の辺の長さa、y方向の辺の長さ2aの薄い長方形の板の、x、y、z軸まわりの慣性モーメントの大小を比較する問題。

解き方

① 薄い板では、面に垂直な軸まわりの慣性モーメントI_z=I_x+I_y(直交軸の定理)
② よってI_zはI_xとI_yのどちらよりも必ず大きい(計算するとI_x=ma²/3、I_y=ma²/12、I_z=5ma²/12)
③ 最大はI_zのみ(③)

正解が正しい理由

板の質量をmとする。x軸まわりの慣性モーメントは、x軸から離れた距離y方向の広がり(2a)で決まり、I_x=m(2a)²/12=ma²/3。y軸まわりは、x方向の広がり(a)で決まり、I_y=ma²/12。z軸まわりは、薄い板では直交軸の定理より、I_z=I_x+I_y=ma²/3+ma²/12=5ma²/12。よってI_z(5/12)>I_x(4/12)>I_y(1/12)で、最大はI_zのみで、③が正しい。

この問題で必要な基礎

■ 慣性モーメント
慣性モーメントは、ある軸のまわりの「回しにくさ」です。軸から遠いところに質量が多いほど大きくなります。

■ どの広がりが効くか
・x軸のまわりに回すとき、x軸からの距離はy方向の位置(とz方向)で決まるので、板のy方向の広がり(2a)が効きます。
・y軸のまわりでは、x方向の広がり(a)が効きます。
・z軸(板に垂直な軸)のまわりでは、x方向とy方向の両方の広がりが効きます。

■ 直交軸の定理
薄い板では、板に垂直な軸まわりの慣性モーメントは、板の面内の2本の軸まわりの和になります(I_z=I_x+I_y)。

各選択肢について

• ① I_x=ma²/3は、I_z(5ma²/12)より小さい。
• ② I_y=ma²/12は、3つの中で最小である。
• ③ I_z=I_x+I_y=5ma²/12が最大であり、これが正答。
• ④ I_xとI_yは、I_zより小さく、最大ではない。
• ⑤ I_xとI_zが等しいわけではなく、I_zの方が大きい。

覚えるべきポイント

薄い平板(平面図形)では、板に垂直な軸まわりの慣性モーメントは、板面内の直交する2軸まわりの慣性モーメントの和に等しい(直交軸の定理 I_z=I_x+I_y)。長方形板の中心を通る軸まわりの慣性モーメントは、質量×(その軸に垂直な方向の辺の長さ)²/12である。