平成27年度 I-3-5

解説

この問題で問われていること

両端固定の棒の中点Bに軸方向荷重Pを加えたときの、点Bの変位δを、AB間(E₁)とBC間(E₂)のヤング率で表す問題。

解き方

① 点Bがδ動くと、AB側は伸び、BC側は縮み、両側で荷重Pを分担する。ばね定数にあたる値=E×S÷長さ
② 両側とも長さl/2 → 2E₁Sδ/l+2E₂Sδ/l=P
③ δ=Pl/{2S(E₁+E₂)}(③)

正解が正しい理由

点Bの変位をδ(荷重方向)とする。AB間は長さl/2、ヤング率E₁で、δだけ伸びるので、軸力N₁=E₁Sδ/(l/2)=2E₁Sδ/l(引張)。BC間は長さl/2、ヤング率E₂で、δだけ縮むので、軸力N₂=2E₂Sδ/l(圧縮)。点Bでの力の釣合いより、P=N₁+N₂=2Sδ(E₁+E₂)/l。よってδ=Pl/{2S(E₁+E₂)}となる。したがって③が正しい。

この問題で必要な基礎

■ 棒をばねとして考える
長さL、断面積S、ヤング率Eの棒は、軸方向に引っ張ったり押したりすると、ばね定数k=E×S÷Lのばねのように伸び縮みします(伸び=力÷k)。AB間とBC間はそれぞれ長さl/2なので、ばね定数は2E₁S/l、2E₂S/lです。

■ 両側から支える
点Bを右に動かすと、AB間は伸び、BC間は縮みます。どちらも点Bを元に戻そうとする力を出すので、2本のばねが並列に点Bを支えているのと同じで、全体のばね定数は2つの和になります。

別の解き方

E₁=E₂=Eのように左右を同じ材料にしてみると、点Bは真ん中なので、答えはE₁とE₂について左右対称な形になるはずです。①②はどちらか一方のEしか含まず、⑤はE₁=E₂で分母が0になるので不自然です。③はPl/(4SE)、④はPl/(2SE)になりますが、両側から支えているのに片側(長さl/2)だけで支えた場合のPl/(2SE)と同じになる④はおかしく、③が残ります。

各選択肢について

• ① Pl/(2SE₁)は、AB間だけが荷重を受け持つと考えた場合で、BC間の抵抗を考慮していない。
• ② Pl/(2SE₂)は、BC間だけが荷重を受け持つと考えた場合で、AB間の抵抗を考慮していない。
• ③ AB間とBC間が並列に荷重を受け持つと考え、P=2Sδ(E₁+E₂)/lより、δ=Pl/{2S(E₁+E₂)}となり、これが正答。
• ④ 3Pl/{2S(2E₁+E₂)}は、力の釣合いと変位の適合条件から導かれる式と一致しない。
• ⑤ Pl/{2S(E₁−E₂)}は、AB間とBC間の抵抗の和ではなく差として計算した誤りである。

覚えるべきポイント

両端固定の棒に途中で荷重が作用する問題は、力の釣合いだけでは解けない不静定問題であり、変位の適合条件(点Bの変位が両側で共通)と、フックの法則δ=NL/(ES)を組み合わせて解く。荷重点の両側は、ばね(剛性ES/(l/2))が並列に荷重を分担すると考えればよい。