平成27年度 I-3-6

解説

この問題で問われていること

同じヤング率Eの2本の片持ちばり(はり1、はり2)に同じ荷重Pを与えたとき、自由端のたわみが等しくなる、はり2の長さaと高さdの関係を求める問題。

解き方

① 片持ちばりの先端のたわみ=PL³/(3EI)、I=幅×高さ³÷12。P・E・3・12は共通なので「長さ³÷(幅×高さ³)」が等しければよい
② はり1: l³÷((l/4)×(l/4)³)=256/l、はり2: a³÷((l/32)×d³)=32a³/(ld³) → (a/d)³=8
③ a/d=2.0(④)

正解が正しい理由

片持ちばりの自由端のたわみはδ=PL³/(3EI)で、断面二次モーメントI=bh³/12(bは幅、hは高さ)。はり1:I₁=(l/4)(l/4)³/12=l⁴/3072、L=lなので、δ₁=Pl³/(3E・l⁴/3072)=1024P/(El)。はり2:I₂=(l/32)d³/12=ld³/384、L=aなので、δ₂=Pa³/(3E・ld³/384)=128Pa³/(Eld³)。δ₁=δ₂より、1024=128a³/d³、(a/d)³=8、a/d=2.0。したがって④が正しい。

この問題で必要な基礎

■ 片持ちばりのたわみ
片側を固定したはりの先端に荷重Pをかけたときの先端のたわみは、δ=P×L³÷(3×E×I)です(Lは長さ、Iは断面二次モーメント)。長さの3乗で効くので、はりが長いほど大きくたわみます。

■ 断面二次モーメント
長方形の断面では、I=(幅)×(高さ)³÷12です。曲げる方向の「高さ」が3乗で効きます。

各選択肢について

• ① a×d=0.5は、たわみの式の関係(a³/d³が一定)とは一致しない条件式。
• ② a×d=2.5は、たわみの式の関係とは一致しない条件式。
• ③ a/d=0.5は、比が逆(d/a=2)となっており、誤り。
• ④ δ₁=δ₂より(a/d)³=8で、a/d=2.0となり、これが正答。
• ⑤ a/d=2.5は、(a/d)³=15.6となり、たわみが等しくならない。

覚えるべきポイント

片持ちばりの先端のたわみは、荷重に比例し、長さの3乗に比例し、曲げ剛性EI(I=bh³/12)に反比例する。断面の高さhは3乗で効くため、高さが同じ割合で変わると、たわみは3乗の割合で変わる。条件はa³/d³が一定という形になる。