平成27年度 I-3-3

解説

この問題で問われていること

数値解析の誤差に関する5つの記述のうち、最も適切なものを選ぶ問題。

解き方

① 誤差の性質: 近い数どうしの引き算で桁落ち。差分の打切り誤差は格子幅を小さくすると小さくなる。有限要素法も分割を細かくすると誤差は小さくなる。アルゴリズムの工夫で誤差は減らせる
② ②線形近似の誤差は残る、③格子幅に依存する、④小さくなる、⑤改良で減らせる
③ ①

正解が正しい理由

浮動小数点演算において、値が近接する2数の引き算では、上位の有効桁が打ち消し合って有効桁数が失われる桁落ち誤差を生じることがある。したがって①は適切な記述である。

各選択肢について

• ① 近接する2数の引き算では、有効桁数が失われる桁落ち誤差を生じる。適切な記述であり、これが正答。
• ② 非線形現象を線形方程式で近似すれば、線形近似の誤差(モデル化・近似誤差)が生じる。線形方程式の数値計算が厳密でも、この誤差は残るため、数値誤差がないとはみなせない。
• ③ テイラー級数展開に基づく差分近似の誤差(打切り誤差)は、格子幅に依存し、格子幅を小さくすると小さくなる。格子幅によらず一定ではない。
• ④ 有限要素法では、要素分割を細かくすると、一般に近似誤差は小さくなる(解が真の解に収束する)。
• ⑤ 計算アルゴリズムの改良により、桁落ちを避ける工夫などで、数値計算の誤差を減らせる。誤差は物理現象の法則だけで決まるわけではない。

覚えるべきポイント

数値計算の主な誤差には、丸め誤差、桁落ち、情報落ち、打切り誤差(近似誤差)がある。桁落ちはほぼ等しい数の引き算で有効桁が失われる現象、打切り誤差は格子幅・要素サイズを小さくすると小さくなる。アルゴリズムの改良で誤差の影響を減らせる。