令和5年度 I-3-3

解説

この問題で問われていること

数値解析に関する5つの記述のうち、最も不適切なものを選ぶ問題。数式の数学的な等価性とコンピュータでの数値計算結果の関係、代表的な数値誤差の種類、連立方程式の解法、有限要素法の近似精度についての知識が問われている。

解き方

① コンピュータは有限の桁で計算するので、数学的に同じ式でも計算の順番や形で丸め誤差・桁落ち・情報落ちの出方が変わる
② ①の「どの式でも結果は等しくなる」はこれを無視している。②桁落ち、③情報落ち、④逆行列なしの解法、⑤要素分割は正しい
③ ①

正解が正しい理由

コンピュータでは実数を有限桁の浮動小数点数で近似して扱うため、数学的に等価な式であっても、計算の順序や式の形によって生じる丸め誤差・桁落ち・情報落ちなどの影響が異なり、実際の計算結果が異なる(数学的には同じでも数値的には異なる)ことがある。したがって「複数の式が数学的に等価である場合は、どの式を用いて計算しても結果は等しくなる」とする①の記述は、数値計算特有の誤差の存在を無視しており誤りであり、これが正答(最も不適切なもの)である。

各選択肢について

• ① 数学的に等価な式であっても、浮動小数点演算における丸め誤差や桁落ち・情報落ちの影響の受け方が式の形によって異なるため、数値計算の結果が完全に一致するとは限らず、この記述は誤りであり、これが正答。
• ② 絶対値が近い2つの数を加減算すると、上位の桁が打ち消し合い有効桁数が失われる桁落ち誤差が生じることがあるという記述は、数値解析における桁落ちの説明として適切である。
• ③ 絶対値が極端に離れた2つの数を加減算すると、小さい方の数の情報が計算結果に反映されなくなる情報落ちが生じることがあるという記述は、数値解析における情報落ちの説明として適切である。
• ④ 連立方程式の解はガウスの消去法などにより、係数行列の逆行列を明示的に計算しなくても求めることができるという記述は、数値線形代数の一般的な手法として適切である。
• ⑤ 有限要素法において要素分割を細かくすると、近似解が真の解に近づき一般的に近似誤差が小さくなるという記述は、有限要素法の収束性に関する一般的な性質として適切である。

覚えるべきポイント

数学的に等価な式であっても、コンピュータ上の有限精度の浮動小数点演算では、計算順序や式変形の仕方によって桁落ち・情報落ちなどの数値誤差の生じ方が異なり、計算結果に差が出ることがある。数値計算では、理論的な等価性と実際の計算精度は別の問題として扱う必要がある。