平成28年度 I-1-5

解説

この問題で問われていること

材料の個数の上限という制約のもとで、製品P1、P2の製造台数を決め、全体の利益が最大となる組合せを選ぶ問題。

解き方

① 選択肢の台数が材料の上限(M₁: x≦5、M₂: x+2y≦9、M₃: 2y≦6)を守れるかを確かめ、守れるものの中で利益2x+5yを比べる
② ①(5,3)と③(4,3)はM₂が上限超え。②(5,2)→20、④(4,2)→18、⑤(3,3)→21
③ P₁ 3台・P₂ 3台(⑤)

正解が正しい理由

P1をx台、P2をy台とする。制約条件は、M₁:x≦5、M₂:x+2y≦9、M₃:2y≦6(y≦3)、x≧0、y≧0。目的関数は利益2x+5y(万円)の最大化。実行可能領域の頂点で評価する。(0,0)→0、(5,0)→10、(5,2)(M₁とM₂の交点)→10+10=20、(3,3)(M₂とM₃の交点)→6+15=21、(0,3)→15。最大は(3,3)で利益21万円となる。したがってP₁を3台、P₂を3台の⑤が正しい。

この問題で必要な基礎

■ なぜ「頂点」を調べればよいのか
制約を全て満たす(x, y)の範囲は、グラフ上では直線で囲まれた多角形になります。利益2x+5yは一次式なので、この範囲の中で最大になるのは多角形の角(頂点)のどれかです。そのため、頂点だけを調べれば足ります。

■ 頂点(交点)の求め方
2本の直線の交点は、2つの式を連立方程式として解けば求まります。例えばM₂(x+2y=9)とM₃(2y=6)の交点は、y=3をx+2y=9に入れてx=3です。

各選択肢について

• ① P₁=5台、P₂=3台は、M₂の使用が5+6=11個となり、上限9個を超えるため実行不可能。
• ② P₁=5台、P₂=2台は、制約を満たす(利益20万円)が、最大(21万円)ではない。
• ③ P₁=4台、P₂=3台は、M₂の使用が4+6=10個となり、上限9個を超えるため実行不可能。
• ④ P₁=4台、P₂=2台は、制約を満たすが、利益は8+10=18万円で最大ではない。
• ⑤ P₁=3台、P₂=3台は、すべての制約を満たし(M₂:3+6=9、M₃:6)、利益6+15=21万円で最大となり、これが正答。

覚えるべきポイント

線形計画問題は、制約式の交点(実行可能領域の頂点)で目的関数を評価して最大(最小)を求める。選択肢問題では、各選択肢が材料の制約を満たしているか(実行可能性)をまず確認し、実行可能なものの中で利益を比較する。