平成27年度 I-1-5

解説

この問題で問われていること

長さが独立に正規分布に従う部材A、Bを接続した結合部品の長さが、3501.5mmを超える確率を求める問題。

解き方

① 独立な量の和: 平均は和、分散(標準偏差の2乗)は和。z=(値−平均)÷標準偏差で表を引く
② 平均1800+1700=3500、標準偏差√(0.4²+0.3²)=0.5 → z=(3501.5−3500)÷0.5=3.0 → 表より0.13%
③ 0.2%未満(①)

正解が正しい理由

独立な確率変数の和の平均は各平均の和、分散は各分散の和となる。結合部品の平均=1800+1700=3500mm。分散=0.4²+0.3²=0.16+0.09=0.25、標準偏差=0.5mm。3501.5mmは、平均から1.5mm=3σ(1.5/0.5=3.0)離れた値なので、z=3.0以上となる確率は表より0.13%。したがって0.2%未満の①が正しい。

この問題で必要な基礎

■ 標準偏差と分散
標準偏差は、値が平均からどのくらいばらつくかの目安です。分散は標準偏差の2乗です。独立な2つの長さを足すと、分散(標準偏差の2乗)どうしが足し算になるので、結合部品の標準偏差は√(0.4²+0.3²)=√0.25=0.5mmになります。

■ 標準化(z)の意味
z=(値−平均)÷標準偏差は、「その値が平均から標準偏差何個分離れているか」を表します。3501.5mmは平均3500mmから1.5mm、つまり標準偏差0.5mmの3個分上なので、z=3.0です。どんな正規分布でもこの形に直せば、問題の表(平均0、標準偏差1の正規分布)が使えます。

各選択肢について

• ① 標準偏差0.5mm、z=(3501.5−3500)/0.5=3.0で、確率は0.13%であり、0.2%未満で、これが正答。
• ② 0.2%以上1%未満は、zが約2.3〜2.9に相当する範囲で、本問のz=3.0の確率(0.13%)より大きい。標準偏差の合成(0.4+0.3=0.7とするなど)を誤った場合に現れる。
• ③ 1%以上5%未満は、zが約1.7〜2.3に相当する範囲で、正しい計算値(0.13%)より大きい。
• ④ 5%以上10%未満は、zが約1.3〜1.7に相当する範囲で、正しい計算値より大きい。
• ⑤ 10%以上は、zが約1.3未満に相当する範囲で、正しい計算値より大きい。

覚えるべきポイント

独立な正規分布に従う量を足し合わせると、平均は和、分散は分散の和(標準偏差は各標準偏差の和ではなく、二乗和の平方根)になる。標準偏差の単純な和(0.7)を用いないこと。zを計算して、正規分布表の上側確率を読み取る。