平成28年度 I-3-2

解説

この問題で問われていること

x=u+v、y=uvの変数変換に対するヤコビアンJを求める問題。

解き方

① ヤコビアン=(∂x/∂u)(∂y/∂v)−(∂x/∂v)(∂y/∂u)
② x=u+v、y=uv → 1×u−1×v
③ u−v(③)

正解が正しい理由

ヤコビアンは、J=∂(x,y)/∂(u,v)=det[[∂x/∂u, ∂x/∂v],[∂y/∂u, ∂y/∂v]]。∂x/∂u=1、∂x/∂v=1、∂y/∂u=v、∂y/∂v=uなので、J=1×u−1×v=u−v。したがって③が正しい(実際の積分では、その絶対値|u−v|を用いる)。

この問題で必要な基礎

■ 偏微分
∂x/∂uは「vを定数(ただの数)とみなして、xをuで微分する」ことです。x=u+vならuで微分すると1、y=uvはvを定数とみなすと「v×u」なので、uで微分するとvになります。

■ 2×2の行列式
2×2の行列 (a, b ; c, d)(1行目がa, b、2行目がc, d)の行列式は、a×d−b×cです。ヤコビアンは、4つの偏微分を (∂x/∂u, ∂x/∂v ; ∂y/∂u, ∂y/∂v) と並べた行列の行列式なので、1×u−1×v=u−vになります。

各選択肢について

• ① Jが1となるのは、x=u、y=vのような単純な変換の場合であり、本問の変換とは異なる。
• ② u+vは、xそのものであり、ヤコビアンではない。
• ③ J=1×u−1×v=u−vとなり、これが正答。
• ④ 1+uvは、ヤコビ行列の成分の計算(積ではなく和など)を誤った場合に現れる値であり、正しくない。
• ⑤ 1−uvは、行列式の計算を誤った値であり、正しくない。

覚えるべきポイント

変数変換x=x(u,v)、y=y(u,v)のヤコビアンは、J=(∂x/∂u)(∂y/∂v)−(∂x/∂v)(∂y/∂u)で求める。2重積分ではdxdy=|J|dudvと置き換える。