平成28年度 I-3-3

解説

この問題で問われていること

N₁=(1/4)(1−ξ)(1−η)などの4つの形状関数を、[N₁ N₂ N₃ N₄]=a₀+ξa₁+ηa₂+ξηa₃の形式で表したときの、行ベクトルa₁、a₂、a₃を求める問題。

解き方

① 展開しなくても符号で選べる: ξの係数の符号は(1−ξ)なら−、(1+ξ)なら+。ξηの係数の符号はξとηの符号の積
② ξの係数: N₁〜N₄で−, +, +, − → a₁=(1/4)[−1 1 1 −1](①②)。ξηの係数: +, −, +, − → a₃=(1/4)[1 −1 1 −1](②)
③ ②

正解が正しい理由

各形状関数を展開する。4N₁=(1−ξ)(1−η)=1−ξ−η+ξη、4N₂=(1+ξ)(1−η)=1+ξ−η−ξη、4N₃=(1+ξ)(1+η)=1+ξ+η+ξη、4N₄=(1−ξ)(1+η)=1−ξ+η−ξη。ξの係数を並べると、a₁=(1/4)[−1 1 1 −1]。ηの係数を並べると、a₂=(1/4)[−1 −1 1 1]。ξηの係数を並べると、a₃=(1/4)[1 −1 1 −1]。定数項はa₀=(1/4)[1 1 1 1]で問題文と一致する。したがって②が正しい。

この問題で必要な基礎

■ 係数を集める
各N₁〜N₄を展開して、「定数項」「ξの付いた項」「ηの付いた項」「ξηの付いた項」に分けます。例えば4N₁=(1−ξ)(1−η)=1−ξ−η+ξηなので、N₁の定数項は1/4、ξの係数は−1/4、ηの係数は−1/4、ξηの係数は1/4です。a₁は、N₁〜N₄それぞれの「ξの係数」を横に並べた行ベクトル、a₂はηの係数、a₃はξηの係数を並べたものです。

各選択肢について

• ① a₁、a₂は正しいが、a₃=(1/4)[1 1 1 1]としている点が誤り。ξηの係数は[1 −1 1 −1]である。
• ② a₁=(1/4)[−1 1 1 −1]、a₂=(1/4)[−1 −1 1 1]、a₃=(1/4)[1 −1 1 −1]が、展開した係数と一致しており、これが正答。
• ③ a₁、a₂、a₃すべてが[1 1 1 1]となっており、誤り。
• ④ a₁がξの係数([−1 1 1 −1])とは異なる[1 −1 1 −1]となっており、a₁とa₃が入れ替わって誤り。
• ⑤ a₁がηの係数、a₂がξの係数となっており、ξとηが入れ替わって誤り。

覚えるべきポイント

形状関数は展開して、定数項、ξ、η、ξηの各項の係数を各節点(N₁〜N₄)について並べることで行ベクトルとして表せる。ξの係数は(−1,+1,+1,−1)、ηの係数は(−1,−1,+1,+1)、ξηの係数は(+1,−1,+1,−1)の符号パターンとなる。