出典：公益社団法人 日本技術士会「技術士第一次試験 過去問題」
直線x=0、y=0、x+y=aで囲まれた三角形領域Sにおいて、f(x,y)=x+y、a=2のときの2重積分(累次積分)の値を求める問題。
三角形領域Sでの2重積分を累次積分で表した式に、f(x,y)=x+y、a=2を代入して、その値を求める問題。
① x+yのような1次式の積分=領域の面積×重心での値。直角三角形の重心は、3頂点の座標の平均
② 領域は直角をはさむ2辺が2の直角三角形: 面積2、重心(2/3, 2/3)でx+y=4/3 → 2×4/3
③ 8/3(⑤)
a=2のとき、内側の積分は∫₀^{2−y}(x+y)dx=[x²/2+xy]₀^{2−y}=(2−y)²/2+y(2−y)=(4−4y+y²)/2+2y−y²=2−2y+y²/2+2y−y²=2−y²/2。外側の積分は∫₀²(2−y²/2)dy=[2y−y³/6]₀²=4−8/6=4−4/3=8/3。したがって⑤が正しい。
■ 重積分の計算手順
重積分は、1つの変数ずつ内側から順に積分します。問題の式のとおり、まずyを定数とみなしてxについて0からa−yまで積分し、残ったyだけの式を0からaまでyで積分します。
■ 使う積分の公式
xのn乗の積分は x^(n+1)÷(n+1) です。x+yをxで積分するとx²/2+xy(yは定数扱い)、y²/2をyで積分するとy³/6になります。
累次積分では、内側の積分(ここではxについて0から2−yまで)を先に計算し、その結果をyの関数として外側の積分を行う。三角形領域では、内側の積分範囲が外側の変数に依存する点に注意する。
キーワード: 重積分、累次積分、積分領域、三角形領域、解析