平成28年度 I-3-6

解説

この問題で問われていること

同じ長さLの棒A(断面積A_A、ヤング率E_A)と棒B(A_B、E_B)が剛板で接着され引張力Pを受け、両棒が同じ伸びを生じるとき、応力の比σ_A/σ_Bを求める問題。

解き方

① 剛板でつながった棒は伸び(ひずみ)が同じ。σ=Eε なので応力はヤング率に比例する(断面積は関係ない)
② ε_A=ε_B → σ_A/σ_B = E_A/E_B
③ ④

正解が正しい理由

両棒は剛板で接着されているので、同じ長さの伸びδが生じる。棒の長さは同じLなので、ひずみも等しく、ε_A=ε_B=δ/L。フックの法則σ=Eεより、σ_A=E_Aε、σ_B=E_Bε。よってσ_A/σ_B=E_A/E_B。断面積の大きさには依存しない。したがって④が正しい。

各選択肢について

• ① A_AE_A/(A_BE_B)は、軸力(荷重の分担)の比N_A/N_Bであり、応力の比ではない。
• ② A_BE_B/(A_AE_A)は、軸力の比の逆数であり、応力の比ではない。
• ③ A_BE_A/(A_AE_B)は、応力の比としては誤り。応力の比はヤング率の比のみで決まる。
• ④ 同じひずみのもとで、σ=Eεより、σ_A/σ_B=E_A/E_Bとなり、これが正答。
• ⑤ E_B/E_Aは、比が逆になっている。ヤング率の大きい棒ほど大きな応力が生じる。

覚えるべきポイント

並列に接続された棒は、伸び(ひずみ)が等しく、応力はヤング率に比例する(σ=Eε)。荷重の分担(軸力)はE×断面積に比例するため、応力の比と軸力の比を混同しないこと。