平成29年度 I-1-6

解説

この問題で問われていること

耐力Rが18〜23の一様分布(密度0.2)、作用荷重Sが10〜20の一様分布(密度0.1)であるとき、破壊確率Pr[R<S]を求める問題。

解き方

① 一様分布の破壊確率は、横軸R・縦軸Sの図で「R<Sとなる部分の面積×確率の密さ」
② 密さ=0.2×0.1=0.02。R<Sは18≦R<S≦20の三角形だけで、面積2×2÷2=2 → 0.02×2
③ 0.04(②)

正解が正しい理由

破壊はR<Sのときに起こる。Rは18以上でしか値をとらず、Sは20以下なので、R<Sとなるのは、18≦R<S≦20の範囲に限られる。Rがrの値をとったとき、S>rとなる確率は(20−r)×0.1(18≦r≦20)。よって破壊確率=∫[18,20] 0.2×0.1×(20−r) dr=0.02×[(20−r)²/2の積分値]=0.02×∫[18,20](20−r)dr=0.02×2=0.04。したがって②の0.04が最も近い。

この問題で必要な基礎

■ 確率密度関数と確率
確率密度関数のグラフでは、グラフとr軸(またはs軸)の間の面積が確率を表します。例えばSは10〜20の範囲で高さ0.1なので、Sがrより大きい(r〜20にある)確率は、幅(20−r)×高さ0.1です。

■ 壊れるのはどんなときか
Rは18以上、Sは20以下の値しかとらないので、R<Sとなるのは、RとSがどちらも18〜20の範囲にあって、しかもR<Sのときだけです。

各選択肢について

• ① 0.02は、重なり区間での積分を1/2倍に誤った値。正しくは0.04である。
• ② 重なり区間[18,20]で、∫0.2×0.1×(20−r)dr=0.02×2=0.04となり、これが正答。
• ③ 0.08は、重なり区間の積分を2倍に誤った値。
• ④ 0.1は、Sの確率密度の値そのものであり、破壊確率とは異なる。
• ⑤ 0.2は、Rの確率密度の値そのものであり、破壊確率とは異なる。

覚えるべきポイント

破壊確率Pr[R<S]は、耐力と荷重の確率密度が重なる領域で求める。Rがrのとき、S>rとなる確率をrで積分する(∫f_R(r)・Pr[S>r]dr)。一様分布の場合は、重なり区間の幾何学的な面積で計算できる。