平成29年度 I-3-2

解説

この問題で問われていること

ベクトルAをBに平行なP、Bに垂直なQに分解(A=P+Q)したときのQを求める問題。

解き方

① Bに平行な成分P=(A・B÷B・B)×B、残りQ=A−P。選択肢で選ぶなら「A−QがBの定数倍か」を確かめる(Bに垂直かどうかでは全部当てはまり選べない)
② A・B=6+10−4=12、B・B=6 → P=2B=(2,4,−2) → Q=(4,1,6)
③ ④

正解が正しい理由

PはBに平行なので、P=kBと表せる。Aのb方向への射影より、k=(A・B)/(B・B)。A・B=6×1+5×2+4×(−1)=12、B・B=1+4+1=6なので、k=2、P=2B=(2,4,−2)。Q=A−P=(6−2,5−4,4+2)=(4,1,6)。検算として、Q・B=4+2−6=0(垂直)となる。したがって④が正しい。

この問題で必要な基礎

■ 内積
ベクトル(a1, a2, a3)と(b1, b2, b3)の内積は、a1b1+a2b2+a3b3です。2つのベクトルが垂直なとき、内積は0になります。

■ 平行なベクトルと射影
Bに平行なベクトルPは、Bの何倍か(k倍)としてP=kBと書けます。Aのうち「Bの向きの成分」の大きさは、k=(A・B)÷(B・B)で求められます(これを射影といいます)。残りのQ=A−Pが、Bに垂直な成分です。

各選択肢について

• ① (1,1,3)は、Q・B=1+2−3=0で垂直だが、A−Qが(5,4,1)となってBに平行ではないため、分解の答えではない。
• ② (2,1,4)は、Q・B=2+2−4=0で垂直だが、A−Qが(4,4,0)となってBに平行ではない。
• ③ (3,2,7)は、Q・B=3+4−7=0で垂直だが、A−Qが(3,3,−3)となってBに平行ではない。
• ④ Q=(4,1,6)は、Q・B=4+2−6=0(垂直)であり、A−Q=(2,4,−2)=2BはBに平行で、これが正答。
• ⑤ (5,−1,3)は、Q・B=5−2−3=0で垂直だが、A−Qが(1,6,1)となってBに平行ではない。

覚えるべきポイント

ベクトルAのBに平行な成分はP=((A・B)/(B・B))B(射影)、垂直な成分はQ=A−Pである。選択肢では、Bとの内積が0(垂直)であることに加え、A−QがBの実数倍になることまで確認すると確実である。