出典：公益社団法人 日本技術士会「技術士第一次試験 過去問題」
検査回数Xに対し不具合発生確率が1/(X+2)²となる製品で、検査費用(1回30万円)と不具合による損害(3,240万円)の期待値の合計である総費用を最小にする検査回数を求める問題。
検査費用と不具合による期待損失の合計(総費用)をX回検査の関数として表し、これを最小にする検査回数を求める問題。
① 総費用を微分して0になる点が最小(選択肢を代入して比べてもよい)
② C(X)=30X+3240/(X+2)² → C'=30−6480/(X+2)³=0 → (X+2)³=216、X=4(総費用210万円。3回は約220、5回は約216)
③ 4回(③)
総費用C(X)=30X+3240/(X+2)²(万円)。微分すると C'(X)=30−6480/(X+2)³。C'(X)=0より(X+2)³=216、X+2=6、X=4。X=4で下に凸であり最小となる。確認のため各回数を代入すると、X=2で262.5、X=3で219.6、X=4で120+90=210、X=5で約216.1、X=6で約230.6(万円)であり、X=4回が最小である。したがって③が正しい。
■ 微分して0になる点が最小になる理由
グラフが下がってから上がる形のとき、一番低い点ではグラフの傾きがちょうど0になります。微分は傾きを表すので、「微分=0」となるXを探せば最小の点が見つかります。
■ 3240/(X+2)²の微分
3240/(X+2)²は3240×(X+2)の−2乗なので、微分すると3240×(−2)×(X+2)の−3乗=−6480/(X+2)³になります。30Xの微分は30です。
■ (X+2)³=216の解き方
216=6×6×6なので、X+2=6、X=4です。
検査を増やすと検査費用は増え、不具合による期待損失は減るというトレードオフの関係にある。総費用を回数の関数で表し、微分して0となる点(または選択肢を代入して比較)で最小値を求める。
キーワード: 総費用最小化、検査回数、期待損失、微分、設計・計画