平成30年度 I-3-2

解説

この問題で問われていること

ベクトル場v=(u,v)=(−x²+2xy, 2xy−y²)の(x,y)=(1,2)における、div v=∂u/∂x+∂v/∂yとrot v=∂v/∂x−∂u/∂yの値を求める問題。

解き方

① div v=∂u/∂x+∂v/∂y、rot v=∂v/∂x−∂u/∂y(順番に注意)
② ∂u/∂x=−2x+2y、∂v/∂y=2x−2y → div=0。∂v/∂x=2y、∂u/∂y=2x → rot=2y−2x=4−2=2
③ div v=0、rot v=2(④)

正解が正しい理由

u=−x²+2xy、v=2xy−y²とすると、∂u/∂x=−2x+2y、∂u/∂y=2x、∂v/∂x=2y、∂v/∂y=2x−2y。div v=∂u/∂x+∂v/∂y=(−2x+2y)+(2x−2y)=0(任意の点で0)。rot v=∂v/∂x−∂u/∂y=2y−2x。(x,y)=(1,2)を代入すると、rot v=4−2=2。したがってdiv v=0、rot v=2の④が正しい。

この問題で必要な基礎

■ 偏微分のやり方
∂u/∂xは「yを定数(ただの数)とみなして、xで微分する」ことです。u=−x²+2xyなら
・−x²をxで微分すると−2x
・2xyはyを定数とみなすと「2y×x」なので、xで微分すると2y
となり、∂u/∂x=−2x+2yです。∂u/∂yは、逆にxを定数とみなしてyで微分します(−x²はyを含まないので0、2xyは2x)。

■ 計算の順番
4つの偏微分を先に式のまま求め、問題の式(divは足し算、rotは引き算)に組み合わせてから、最後に(x, y)=(1, 2)を代入します。

各選択肢について

• ① div v=2、rot v=−4としている点が誤り。div vは常に0、rot vは(1,2)で2である。
• ② div v=0は正しいが、rot v=−2としている点が誤り。rot v=2y−2x=2(符号を逆にした値)。
• ③ div v=−2、rot v=0としている点が誤り。正しくはdiv v=0、rot v=2である。
• ④ ∂u/∂x+∂v/∂y=0、∂v/∂x−∂u/∂y=2y−2x=2が偏微分の計算結果と一致しており、これが正答。
• ⑤ div v=2、rot v=4としている点が誤り。div vは0、rot vは2である。

覚えるべきポイント

発散div v=∂u/∂x+∂v/∂y、回転rot v=∂v/∂x−∂u/∂y(2次元の場合)。それぞれの偏微分を落ち着いて計算し、最後に点の座標を代入する。符号(∂v/∂x−∂u/∂yの順序)の取り違えに注意する。