平成30年度 I-3-5

解説

この問題で問われていること

重力場でバネにつり下げられた質点の系について、力の釣合いと全ポテンシャルエネルギーに関する5つの記述のうち、最も不適切なものを選ぶ問題。

解き方

① 全ポテンシャルエネルギー Π=(1/2)ku²−mgu。dΠ/du=ku−mg=0 で釣合い(ku=mg)。2階微分は k>0 なので、釣合い位置でΠは最小
② ③「最大となる」が逆
③ ③

正解が正しい理由

この系の全ポテンシャルエネルギーはΠ_P=(1/2)ku²−mguである。停留条件dΠ_P/du=ku−mg=0より、釣合い方程式ku=mgが得られ、釣合い位置u=mg/kが求まる。このとき2階微分d²Π_P/du²=k>0であるから、Π_Pは釣合い位置で最小(極小)となる。釣合い位置で最大となるとする③の記述は不適切である。

各選択肢について

• ① 質点に作用する力(バネの復元力kuと重力mg)の釣合いから、ku=mgと表せるため適切。
• ② 内部ポテンシャルエネルギー(バネのひずみエネルギー)(1/2)ku²と、外力(重力)のポテンシャルエネルギー−mguの和として、Π_P=(1/2)ku²−mguと表せるため適切。
• ③ 釣合い位置では、Π_Pの2階微分がk>0であり、全ポテンシャルエネルギーは最小となる(最小ポテンシャルエネルギーの原理)。最大とする記述は誤りで、これが正答。
• ④ dΠ_P/du=ku−mg=0(停留条件)から釣合い方程式が得られるため適切。
• ⑤ 全ポテンシャルエネルギーの停留(極値)問題として静力学問題を扱う考え方は、有限要素法の固体力学解析の基礎となっているため適切。

覚えるべきポイント

安定な釣合い状態では、全ポテンシャルエネルギーは最小となる(最小ポテンシャルエネルギーの原理)。停留条件dΠ/du=0から力の釣合い式が導かれ、2階微分が正であれば極小(安定)である。この考え方は有限要素法の基礎になっている。