令和元年度 I-1-6

解説

この問題で問われていること

3つの数学の式・定理の説明(ア)〜(ウ)と、その名称の組合せを選ぶ問題。

解き方

① x=0のまわりの べき級数展開=マクローリン展開、e^{iπ}+1=0=オイラーの等式、f/gの極限を f′/g′ の極限で求める=ロピタルの定理
② ア=マクローリン展開 で②③、イ=オイラーの等式 で③
③ ③

正解が正しい理由

(ア)f(x)をx=0における高階導関数を係数とするべき級数で表す式はマクローリン展開(x=0のまわりのテイラー展開)。(イ)e^{iπ}+1=0はオイラーの等式。(ウ)0/0や∞/∞の不定形の極限を、導関数の比の極限で求めるのはロピタルの定理。したがって③が正しい。フーリエ級数は周期関数を三角関数の和で表すもので、いずれにも当てはまらない。

各選択肢について

• ① アがロピタルの定理、ウがフーリエ級数となっている点が誤り。
• ② イがフーリエ級数、ウがオイラーの等式となっている点が誤り。
• ③ マクローリン展開・オイラーの等式・ロピタルの定理の組合せが正しく、これが正答。
• ④ アがフーリエ級数、イがロピタルの定理、ウがマクローリン展開となっている点が誤り。
• ⑤ アがフーリエ級数、イがマクローリン展開となっている点が誤り。

覚えるべきポイント

マクローリン展開=x=0のまわりのべき級数展開、オイラーの等式=e^{iπ}+1=0、ロピタルの定理=不定形の極限を導関数の比で求める、フーリエ級数=周期関数を三角関数の和で表す。