令和元年度 I-3-1

解説

この問題で問われていること

3次元ベクトル場の発散を偏微分で計算し、指定点での値を求める問題。

解き方

① divV=∂Vx/∂x+∂Vy/∂y+∂Vz/∂z。sin(x+y+z)をxで微分するとcos(x+y+z)、cos(x+y+z)をyで微分すると−sin(x+y+z)
② divV=cos(x+y+z)−sin(x+y+z)+1。(2π,0,0)ではcos2π=1、sin2π=0 → 1−0+1=2
③ ⑤

正解が正しい理由

∂Vx/∂x=cos(x+y+z)、∂Vy/∂y=−sin(x+y+z)、∂Vz/∂z=1なので、divV=cos(x+y+z)−sin(x+y+z)+1。点(2π,0,0)ではx+y+z=2πで、cos2π=1、sin2π=0だから、divV=1−0+1=2。したがって⑤が正しい。

各選択肢について

• ① −2は、cosとsinの符号や+1の項を取り違えた値で、正しくない。
• ② −1は計算結果の2と一致しない。
• ③ 0は、Vzの偏微分(=1)などを落とした値で、正しくない。
• ④ 1は、cos項か+1の項の一方を落とした値で、正しくない。
• ⑤ divV=1−0+1=2で、これが正答。

覚えるべきポイント

発散は各成分をその座標で偏微分した和。合成関数sin(x+y+z)をxで偏微分すると、内側の微分(=1)がかかってcos(x+y+z)になる。