令和元年度 I-3-3

解説

この問題で問われていること

速度に比例する抵抗を受ける落下運動で、十分時間が経った後に近づく一定速度(終端速度)を求める問題。

解き方

① 一定速度になる=加速度が0(dv/dt=0)
② 0=mg−kv → v=mg/k
③ ①

正解が正しい理由

十分時間が経って速度が一定になると、dv/dt=0となる。運動方程式に代入すると0=mg−kvで、v=mg/k。実際、解はv=mg/k+(v₀−mg/k)e^{−kt/m}となり、初速度v₀によらずmg/kに近づく。したがって①が正しい。

各選択肢について

• ① dv/dt=0とおいて得られる終端速度mg/kで、これが正答。
• ② 2mg/kでは、mg−kv=−mg≠0となり、一定速度にならない。
• ③ √(mg)/kは次元が合わず、運動方程式から導かれない。
• ④ √(mg/k)は、抵抗が速度の2乗に比例する場合(mg=kv²)の形で、本問の条件と異なる。
• ⑤ √(2mg/k)は運動方程式から導かれない。

覚えるべきポイント

終端速度は「加速度=0」とおけば求まる。抵抗が速度に比例ならv=mg/k、速度の2乗に比例ならv=√(mg/k)。