令和元年度 I-3-4

解説

この問題で問われていること

3方向の垂直ひずみの和(体積ひずみ)が常に0になる条件から、ポアソン比を求める問題。

解き方

① σxx だけが働くと εxx=σ/E、εyy=εzz=−νσ/E。体積ひずみはこの3つの和
② 和=(1−2ν)σ/E=0 がどんなσでも成り立つ → 1−2ν=0 → ν=1/2
③ ④

正解が正しい理由

垂直応力σxxによる体積ひずみはεxx+εyy+εzz=σxx/E−2νσxx/E=(1−2ν)σxx/E。σyy、σzzについても同様で、全体の体積ひずみは(1−2ν)(σxx+σyy+σzz)/E。これがどんな応力の組合せでも0になるには1−2ν=0、すなわちν=1/2。したがって④が正しい。

各選択肢について

• ① ν=1/6では1−2ν=2/3≠0で、体積が変化する。
• ② ν=1/4では1−2ν=1/2≠0で、体積が変化する。
• ③ ν=1/3では1−2ν=1/3≠0で、体積が変化する。
• ④ ν=1/2で1−2ν=0となり、体積ひずみが常に0。これが正答。
• ⑤ ν=1では1−2ν=−1≠0で、体積が変化する(等方性材料ではνは1/2を超えない)。

覚えるべきポイント

体積ひずみ=(1−2ν)(σxx+σyy+σzz)/E。ポアソン比1/2は体積が変わらない材料(ゴムなど)に対応し、等方性材料のポアソン比の上限でもある。