令和元年度 I-3-6

解説

この問題で問われていること

長さl・質量Mの一様な棒の剛体振り子について、与えられた角振動数の式から周期を求める問題。

解き方

① 一様な棒の端のまわりの慣性モーメント I=Ml²/3。周期 T=2π/ω
② ω=√(Mgl/(2I))=√(Mgl/(2Ml²/3))=√(3g/(2l)) → T=2π√(2l/(3g))
③ ③

正解が正しい理由

長さl、質量Mの一様な細い棒の一端のまわりの慣性モーメントはI=Ml²/3。これをω=√(Mgl/(2I))に代入するとω=√(3g/(2l))。周期はT=2π/ω=2π√(2l/(3g))。したがって③が正しい。

この問題で必要な基礎

端のまわりの慣性モーメントは、中心のまわりの値Ml²/12に平行軸の定理でM(l/2)²を足して、Ml²/12+Ml²/4=Ml²/3。

各選択肢について

• ① 2π√(l/g)は、長さlの単振り子(質点)の周期で、剛体振り子とは異なる。
• ② 2π√(3l/(2g))は、慣性モーメントや分母分子を取り違えた値。
• ③ I=Ml²/3を代入して得られる2π√(2l/(3g))で、これが正答。
• ④ 2π√(2g/(3l))は、周期ではなく次元が逆(1/時間)になっている。
• ⑤ 2π√(3g/(2l))は、2πωの形で、周期ではない。

覚えるべきポイント

一様な棒の慣性モーメントは、中心のまわりでMl²/12、端のまわりでMl²/3。周期T=2π/ω。