令和元年度(再試験) I-1-1

解説

この問題で問われていること

n個の非負の実数の相乗平均と相加平均の関係(1)、sinθ/θと2/πの大小関係(2)、下に凸な関数における中点の値と両端の値の平均の関係(3)を問う、3つの数学的な不等式に関する空欄補充問題。

解き方

① 3つの不等式: 相乗平均≦相加平均(全部等しいとき等号)、0<θ≦π/2 では sinθ/θ≧2/π(sinθ/θ は減少し、θ=π/2 で 2/π)、f''>0(下に凸)で異なる2点なら f(中点)<平均
② ウは異なる2点なので等号なしの<(③⑤)。イ=≧で⑤
③ ≦・≧・<(⑤)

正解が正しい理由

1)相加相乗平均の関係より、n個の非負の実数の相乗平均は相加平均以下になるため、ⁿ√(a1a2…an)≦(a1+a2+…+an)/nが成り立つ(ア=≦)。2)0<θ≦π/2の範囲でsinθ/θは単調減少する関数であり、θ→0で1に近づき、θ=π/2でちょうど2/πになるため、この範囲ではsinθ/θ≧2/πが常に成り立つ(イ=≧)。3)f''(x)>0(狭義凸関数)であるとき、異なる2点x1, x2に対してイェンセンの不等式よりf((x1+x2)/2)<(f(x1)+f(x2))/2という狭義の不等式が成り立つ(ウ=<)。したがってア=≦、イ=≧、ウ=<の組合せである⑤が正しい。

各選択肢について

• ① イが「=」となっている点、ウが「=」となっている点が誤り。sinθ/θと2/πは一般には等しくならず(θ=π/2のときのみ等しい)、凸関数の不等式も狭義の不等号(<)になる。
• ② ウが「=」となっている点が誤り。狭義凸関数(f''>0)では、異なる2点に対してイェンセンの不等式は狭義の不等号(<)で成り立つ。
• ③ アが「=」となっている点が誤り。相加相乗平均の関係は等号を含む形(≦)で成り立ち、すべてのaiが等しいときのみ等号が成立する一般的な不等式である。
• ④ アが「<」となっている点が誤り。相加相乗平均の関係はすべての値が等しい場合に等号が成立するため、狭義の不等号ではなく≦で表される。
• ⑤ ア=≦(相加相乗平均の関係)、イ=≧(sinθ/θの単調減少性)、ウ=<(狭義凸関数のイェンセンの不等式)の組合せが、それぞれの数学的性質と一致しており、これが正答。

覚えるべきポイント

相加相乗平均の不等式(≦、全て等しいとき等号)、sinθ/θの0<θ≦π/2での単調減少性(θ=π/2で最小値2/πを取る)、狭義凸関数のイェンセンの不等式(異なる2点では狭義の不等号<になる)という3つの基本的な数学的性質を押さえておく。