令和元年度(再試験) I-1-3

解説

この問題で問われていること

FTA図の各ゲート記号(記号a=AND、記号b=OR)を読み取り、最下段の独立な事象の発現確率から事象Aの発現確率に最も近い値を求める問題。

解き方

① ANDゲート=確率の積、ORゲート=1−(1−p)の積。図の下から順に合成する
② 左下OR: 1−0.9²=0.19、AND: 0.2²=0.04 → 左中段OR: 1−0.81×0.96=0.2224。右AND: 0.4²=0.16 → 頂上AND: 0.2224×0.16≒0.0356
③ 0.036(①)

正解が正しい理由

図の下段から順に計算する。左端のゲート(0.100, 0.100)は記号b(OR)で、P=1−(1−0.1)²=0.19。その隣のゲート(0.200, 0.200)は記号a(AND)で、P=0.2×0.2=0.04。この2つを束ねる左中段のゲートは記号b(OR)で、P=1−(1−0.19)(1−0.04)=1−0.81×0.96=0.2224。右側のゲート(0.400, 0.400)は記号a(AND)で、P=0.4×0.4=0.16。頂上のゲートは記号a(AND)なので、P(A)=0.2224×0.16≒0.0356となり、最も近い値は0.036の①である。

この問題で必要な基礎

■ ANDゲート(記号a)の確率は掛け算
下の事象が「全て同時に」起きたときだけ上の事象が起きるので、独立な事象なら確率は掛け算です(0.2と0.2なら0.2×0.2=0.04)。

■ ORゲート(記号b)の確率は「1−(起きない確率の掛け算)」
下の事象の「どれか1つでも」起きれば上の事象が起きます。上の事象が起きないのは、下の事象が全て起きないときだけなので、1−(1−0.1)×(1−0.1)=1−0.81=0.19のように計算します。単純に0.1+0.1と足すと、両方起きる場合を二重に数えてしまいます。

■ 計算の順番
図の一番下のゲートから順に確率を求め、その結果を上のゲートの入力として使っていきます。

各選択肢について

• ① P(A)=0.2224×0.16≒0.0356であり、0.036に最も近いため、これが正答。
• ② 0.038は近い値だが、計算結果0.0356には0.036の方が近い。AND/ORの読み違いや計算の丸めで生じやすい紛らわしい値である。
• ③ 0.233は左中段ゲートの出力(約0.222)付近の値で、頂上のANDゲートで右側の0.16を掛けていない、あるいは頂上をANDでなくORと誤って扱った場合に近い値になる。
• ④ 0.641は右側の(0.4, 0.4)をORとして計算した場合(1−0.6²=0.64)に近い値であり、右側のゲートを記号a(AND)と読まなかった誤り。
• ⑤ 0.804はANDとORを取り違えて確率を合成した場合に現れる大きな値であり、各ゲートの記号を正しく読み取れていない。

覚えるべきポイント

FTAではANDゲートは独立事象の確率の積、ORゲートは1−Π(1−p)で計算する。ゲート記号(a=AND、b=OR)を図から正確に読み取り、下段から順に確率を合成していく。