令和元年度(再試験) I-3-1

解説

この問題で問われていること

f'(x)=1+{f(x)}²、f(0)=1を満たす関数について、関係式を微分してf''(0)とf'''(0)の値の組合せを求める問題。

解き方

① 関係式f'=1+f²をそのままくり返し微分し、x=0の値を順に代入する(積の微分を忘れない)
② f'(0)=1+1=2。f''=2ff' → f''(0)=2×1×2=4。f'''=2(f')²+2ff'' → f'''(0)=2×4+2×1×4=16
③ f''(0)=4、f'''(0)=16(⑤)

正解が正しい理由

f'(0)=1+f(0)²=1+1=2。関係式を微分するとf''(x)=2f(x)f'(x)。よってf''(0)=2·1·2=4。さらに微分するとf'''(x)=2{f'(x)}²+2f(x)f''(x)なので、f'''(0)=2·2²+2·1·4=8+8=16。したがってf''(0)=4、f'''(0)=16の⑤が正しい。

この問題で必要な基礎

■ {f(x)}²の微分
{f(x)}²のように、関数の2乗を微分すると2f(x)×f'(x)になります(「外側の2乗の微分2f(x)」に「中身f(x)の微分f'(x)」を掛ける)。そのため、f'(x)=1+{f(x)}²を微分すると、f''(x)=2f(x)f'(x)です。

■ 積の微分
2f(x)f'(x)のように2つの関数の積を微分するときは、「前を微分×後ろ+前×後ろを微分」とします。2f(x)f'(x)を微分すると、2f'(x)×f'(x)+2f(x)×f''(x)=2{f'(x)}²+2f(x)f''(x)になります。

■ 値の求め方
f(0)=1から、f'(0)=1+1²=2、次にf''(0)、f'''(0)と、分かった値を順に代入していきます。

各選択肢について

• ① f''(0)=2としている点が誤り。f''(0)=2f(0)f'(0)=2·1·2=4である。
• ② f''(0)=2としている点が誤り。f'(0)=2を掛け忘れるなどすると2になるが、正しくは4である。
• ③ f''(0)=2としている点が誤り。f''(0)は4であり、f'''(0)も8ではなく16である。
• ④ f''(0)=4は正しいが、f'''(0)=12としている点が誤り。f'''(x)=2{f'(x)}²+2f(x)f''(x)の第1項(積の微分)を誤ると12になりやすいが、正しくは16である。
• ⑤ f''(0)=4、f'''(0)=2·4+2·1·4=16が導関数の関係式から得られる値と一致しており、これが正答。

覚えるべきポイント

f'=1+f²のように導関数が関数自身で表されている場合は、関係式をそのまま繰り返し微分し、x=0での既知の値(f(0)、f'(0)、f''(0))を順に代入して高階微分係数を求める。f'''では積の微分則を忘れないこと。