令和元年度(再試験) I-3-2

解説

この問題で問われていること

点Aから平面S:x+2y−z=0に下ろした垂線と平面との交点Bの座標を求める問題。

解き方

① 平面ax+by+cz+d=0の法線は(a,b,c)。垂線の足は「平面上にある」かつ「Aとの差が法線と平行」
② 法線(1,2,−1)。(6+t, 5+2t, 4−t)を平面の式に代入: 12+6t=0 → t=−2 → (4,1,6)
③ (4,1,6)(②)

正解が正しい理由

平面Sの法線ベクトルは(1,2,−1)であり、これは点Aを通り平面Sに垂直な直線の方向ベクトルとなる。直線上の点は(6+t,5+2t,4−t)と表せる。これを平面の式に代入すると(6+t)+2(5+2t)−(4−t)=12+6t=0となり、t=−2。よってB=(6−2,5−4,4+2)=(4,1,6)となる。実際に平面の式に代入すると4+2−6=0を満たす。したがって②が正しい。

この問題で必要な基礎

■ 平面の法線ベクトル
平面ax+by+cz=0(この問題ではx+2y−z=0)の係数を並べたベクトル(a, b, c)=(1, 2, −1)は、平面に垂直な向き(法線ベクトル)を表します。

■ 垂直な直線の表し方
点A(6, 5, 4)を通り、法線ベクトル(1, 2, −1)の向きに進む直線上の点は、tを使って(6+t, 5+2t, 4−t)と表せます(tだけ進んだ点)。この点が平面の式を満たすtを求めれば、平面との交点Bが分かります。

各選択肢について

• ① (1,1,3)は平面上の点(1+2−3=0)ではあるが、Aからの変位(−5,−4,−1)が法線ベクトル(1,2,−1)と平行でなく、垂線の足ではない。
• ② 点Aと(4,1,6)を結ぶベクトルは(−2,−4,2)=−2(1,2,−1)で法線ベクトルと平行であり、かつ(4,1,6)は4+2−6=0で平面上にあるため、これが正答。
• ③ (3,2,7)は3+4−7=0で平面上の点ではあるが、Aからの変位(−3,−3,3)が法線ベクトルと平行でなく、垂線の足ではない。
• ④ (2,1,4)は2+2−4=0で平面上の点ではあるが、Aからの変位(−4,−4,0)が法線ベクトルと平行でなく、垂線の足ではない。
• ⑤ (5,3,5)は5+6−5=6≠0であり、平面S上の点ではない。

覚えるべきポイント

平面ax+by+cz+d=0の法線ベクトルは(a,b,c)である。点から平面へ下ろした垂線は法線ベクトルを方向ベクトルとする直線なので、媒介変数表示を平面の式に代入してパラメータを求めれば垂線の足が得られる。選択肢は平面上にあるかどうかで絞り込むこともできる。