令和元年度(再試験) I-3-4

解説

この問題で問われていること

シンプソンの1/3公式(区間の両端の重み1/3、中点の重み4/3)を用いて、S=∫[-1,1] 1/(x+3) dxの近似値を求め、最も近い選択肢を選ぶ問題。

解き方

① シンプソンの公式: (h/3){f(両端)+4f(中点)+f(両端)}
② f(−1)=1/2、f(0)=1/3、f(1)=1/4、h=1 → (1/3)(1/2+4/3+1/4)=25/36≒0.694
③ 0.693(⑤)

正解が正しい理由

積分区間[−1,1]の幅は2であり、シンプソンの1/3公式では区間の刻み幅h=1として、S≒h{f(−1)/3+4f(0)/3+f(1)/3}=(1/3){f(−1)+4f(0)+f(1)}となる。f(x)=1/(x+3)より、f(−1)=1/2、f(0)=1/3、f(1)=1/4。よってS≒(1/3)(1/2+4/3+1/4)=(1/3)(6/12+16/12+3/12)=(1/3)(25/12)=25/36≒0.694となる。最も近い選択肢は0.693の⑤である(なお、厳密値はln2≒0.6931である)。

各選択肢について

• ① 0.653は計算結果0.694から離れており、重みの掛け方を誤った場合などの値。
• ② 0.663は計算結果0.694から離れており、重み係数を誤った場合などの値。
• ③ 0.673は計算結果0.694から離れている。台形公式(f(−1)+f(1))=0.75と中点の4f(0)の混同などで生じ得る値。
• ④ 0.683は計算結果0.694より小さく、正しい計算結果に最も近い値ではない。
• ⑤ シンプソンの公式による近似値25/36≒0.694に最も近い0.693(厳密値ln2≒0.6931とも一致)であり、これが正答。

覚えるべきポイント

シンプソンの1/3公式は、区間の両端と中点の3点で被積分関数を2次式で近似し、∫≒(h/3){f(a)+4f(m)+f(b)}(hは区間幅の1/2)で計算する。本問は重み係数が1/3・4/3・1/3と与えられており、刻み幅h=1を掛けて素直に計算すればよい。