令和元年度(再試験) I-3-5

解説

この問題で問われていること

固有振動数・固有振動モードに関する5つの記述(構造体、気柱振動、単振り子、熱伝導方程式、平板)のうち、最も適切なものを選ぶ問題。

解き方

① 振動は時間の2階微分(加速度)がある式で起こる。熱伝導の式は時間の1階微分だけなので、振動せずに単調に落ち着く
② ①形状・境界条件にもよる、②境界条件(開端・閉端)で変わる、③単振り子は f=(1/2π)√(g/L) で質量に無関係、⑤モードは多数ある
③ ④

正解が正しい理由

熱伝導の微分方程式(∂T/∂t=α∇²T)は時間に関して1階微分しか含まず、時間に関する2階微分を含む波動方程式や振動方程式とは異なる。このため、時間とともに符号を変えながら振動を続ける「固有振動数による自由振動」は発生せず、温度分布は単調に減衰・緩和していく。したがって④は適切な記述である。

各選択肢について

• ① 弾性変形する構造体の固有振動数は、材質(ヤング率・密度)だけでなく、形状・寸法・境界条件(支持条件)にも依存するため、材質のみで定まるとする記述は不適切である。
• ② 管路の気柱振動の固有振動数は、開端・閉端といった両端の境界条件によって異なる(例:両端開放と一端閉端では基本振動の波長が異なる)ため、境界条件に依存しないとする記述は不適切である。
• ③ 単振り子の固有振動数はf=(1/2π)√(g/L)で表され、おもりの質量には依存しない(質量を変えても周期は変わらない)。質量の平方根に反比例するのは、ばね-質量系の固有振動数の性質であり、単振り子には当てはまらない。
• ④ 熱伝導の微分方程式は時間に関して1階微分しか含まず、慣性による往復運動が生じないので、固有振動数による自由振動は発生しない。これが適切な記述であり、正答。
• ⑤ 平板の弾性変形には、一般に無限個の固有振動モードが存在し、低次から高次まで多数のモードが現れる。モードが1つだけとする記述は不適切である。

覚えるべきポイント

固有振動数は、質量や剛性だけでなく形状や境界条件にも左右される。単振り子はf=(1/2π)√(g/L)で質量に無関係、ばね-質量系はf=(1/2π)√(k/m)で質量の平方根に反比例する。時間の2階微分を含むか(振動的)、1階のみか(拡散的)で現象の性質が異なる。